Прискорення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Gravity gravita grave.gif
М'яч при падінні під дією сили тяжіння, за відсутності опору повітря прискорюється, тобто рухається все швидше і швидше.
Символи: a; \mathbf{a}; \vec a
Розмірність: LT−2
Одиниці вимірювання: м/с2; m/s2
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки
Прискорення — це зміна швидкості. У будь-якій точці траєкторії прискорення задається не тільки зміною абсолютного значення швидкості, а й її напрямку. Прискорення визначається як границя відношенні приросту швидкості до інтервалу часу, за який цей приріст відбувся.

Приско́рення  — векторна фізична величина, похідна швидкості по часу та за величиною дорівнює зміні швидкості тіла за одиницю часу.

\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt} \;

Оскільки швидкість — похідна по часу від радіус-вектора \mathbf{r} рухомої матеріальної точки, то прискорення можна записати, як другу похідну по часу від радіус-вектора:

\mathbf{a}=\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \;

Прискорення, як векторна величина здебільшого позначається літерою \mathbf{a} або \vec a, а коли йде мова тільки про кількісне значення прискорення — a (від лат. acceleratio — прискорення).

Часто у фізиці для позначення прискорення використовують дві крапки над позначенням координати чи радіуса-вектора, або одну крапку над символом швидкості:

 \mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}} = \dot{\mathbf{v}}.

Означення поняття[ред.ред. код]

Швидкість тіла в інерційній системі відліку може змінюватись під дією зовнішніх впливів на тіло. Прискорення є характеристикою цієї зміни.

Нехай матеріальна точка в момент часу t має швидкість \mathbf{v}(t), а в момент t +\Delta t її швидкість \mathbf{v}(t +\Delta t) (див. рисунок). За означенням, середнє прискорення за час Δt

\mathbf{a} = \frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t},

де \Delta\mathbf{v} = \mathbf{v}(t+\Delta t) - \mathbf{v}(t) — зміна швидкості за час Δt. Миттєве прискорення (прискорення в даний момент часу, в даній точці траєкторії) визначається виразом

\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\mathbf{v}(t+\Delta t) - \mathbf{v}(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {d\mathbf{v}}{dt}.

Отже, прискорення характеризує зміну швидкості в часі як за величиною, так і за напрямом. Можна переконатися, що в загальному випадку вектор \mathbf{a} напрямлений всередину увігнутості кривої, по якій рухається точка.

Рух тіла, при якому його прискорення не змінюється (ні за величиною, ні за напрямком), називається рівноприскореним рухом. У фізиці термін прискорення використовується і в тих випадках, коли швидкість тіла за модулем не збільшується, а зменшується, тобто тіло сповільнюється. При сповільненні вектор прискорення направлений проти руху, тобто протилежний до вектора швидкості.

Прискорення — одне з базових понять класичної механіки. Воно поєднує між собою кінематику й динаміку. Знаючи прискорення, а також початкові положення й швидкості тіл, можна передбачити, як тіла будуть рухатися надалі. З іншого боку, значення прискорення визначається законами динаміки через сили, що діють на тіла.

Одиниці вимірювання[ред.ред. код]

Абсолютна величина прискорення вимірюється в системі СІ в метрах за секунду в квадраті (м/с2)[1]. Існує також позасистемна одиниця ґал (англ. gal), що використовується у гравіметрії і дорівнює 1 см/с2. Часто прискорення також вимірюють, вибираючи за одиницю прискорення вільного падіння, яке позначають латинською літерою g, тобто говорять, що прискорення становить, наприклад, 2g.

Зв'язок між одиницями прискорення
м/с² фут/с² g см/с²
1 м/с² = 1 3,28084 0,101972 100
1 фут/с² = 0,304800 1 0,0310810 30,4800
1 g = 9,80665 32,1740 1 980,665
1 см/с² = 0,01 0,0328084 0,00101972 1

Прискорення в траєкторному описі. Тангенціальне і нормальне прискорення[ред.ред. код]

Тангенціальне і доцентрове прискорення

Прискорення — векторна величина. Його напрямок не завжди збігається із напрямком швидкості. В загальному випадку вектор прискорення утворює з вектором швидкості деякий кут і розкладається на дві складові. Складова вектора прискорення, яка направлена паралельно до вектора швидкості, а отже, вздовж дотичної до траєкторії, називається тангенціальним прискоренням. Складова вектора прискорення, що направлена перпендикулярно до вектора швидкості, а отже, вздовж нормалі до траєкторії, називається нормальним прискоренням.

\mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{dv}{dt} \left(\frac{\mathbf{v}}{v}\right) + v \frac{d}{dt}\left( \frac{\mathbf{v}}{v}\right) = \frac{dv }{dt} \mathbf{u}_t+ \frac{v^2}{R}\mathbf{u}_n =  \mathbf{a}_t + \mathbf{a}_n,

де R — радіус кривини лінії руху у точці, що розглядається.

Перший член у цій формулі задає тангенціальну складову прискорення (тангенціальне прискорення) і характеризує зміну швидкості за величиною. Другий — нормальна складова прискорення (нормальне, або доцентрове прискорення) і характеризує зміну швидкості за напрямом. Зміна напрямку одиничного вектора завжди перпендикулярна до цього вектора, тому другий член в цій формулі нормальний до першого.

Проекції вектора \mathbf{a} на напрям вектора швидкості і на напрям, перпендикулярний до вектора швидкості даються виразами:

a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2};
a_n = \frac{v^2}{R}.

Слід зазначити, що часто a_t і a_n (проекції відповідних векторів) називають тангенціальним прискоренням і нормальним прискоренням (як і відповідні вектори).

Модуль повного прискорення

a = \sqrt{a^2_t + a^2_n} = \sqrt{{\frac{dv}{dt}}^2 + \frac{v^4}{R^2}}.

У загальному випадку обертового руху використовується поняття кутове прискорення, яке характеризує зміну кутової швидкості у часі і за аналогією до лінійного прискорення обчислюється за формулою:

\boldsymbol{\varepsilon} =  \frac {d\boldsymbol{\omega}}{dt}.

Існує зв'язок між тангенціальним і кутовим прискореннями:

a_t = \boldsymbol{\varepsilon}\cdot R.

Векторний та координатний опис прискорення[ред.ред. код]

Прискорення у векторному записі

\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}.

Оскільки


\begin{cases} \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \\ \mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k},
\end{cases}

то вирази для прискорення можуть бути записані так

\mathbf{a} = \frac{dv_x}{dt}\mathbf{i} + \frac{dv_y}{dt}\mathbf{j} + \frac{dv_z}{dt}\mathbf{k}

або

\mathbf{a} = \frac{d^2x}{dt^2}\mathbf{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\mathbf{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\mathbf{k}

чи

\mathbf{a} = a_x\mathbf{i} + a_y\mathbf{j} + a_z\mathbf{k},

де a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}; \quad a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}; \quad a_x = \frac{dv_z}{dt} = \frac{d^2z}{dt^2} — проекції прискорення на координатні осі. Якщо рух відбувається в площині xOy, то a_z = 0, якщо вздовж осі Ox, то a_y = 0;a_z = 0.

Модуль повного прискорення

\left |\mathbf{a} \right | = \sqrt{a^2_x + a^2_y + a^2_z}.

Наведені формули дають вирази для прискорення у координатному описі.

Прискорення тіла, що рівномірно рухається по колу[ред.ред. код]

Рівномірний рух по колу. Прискорення завжди перпендикулярно швидкості та направлено до центру.
Приклад нерівномірного руху по колу (математичний маятник). Прискорення, що складається з тангенціальної та доцентрової компонент, у різні моменти змінюється від повністю дотичного до повністю нормального до траєкторії.

У випадку обертання матеріальної точки по колу із кутовою швидкістю  \omega , що не змінюється за модулем, вектор повного прискорення є перпендикулярним до вектора швидкості і спрямований до центра кола й дорівнює за абсолютною величиною

 a = \omega^2 R = \frac{v^2}{R} ,

де R — радіус кола,  v = \omega R  — швидкість тіла.

У векторному записі:

 \mathbf{a} = - \omega^2 \mathbf{r} ,

де  \mathbf{r}  — радіус-вектор.  |\mathbf{r}| = R .

Знак мінус вказує на те, що прискорення спрямоване до центра кола. Таке прискорення називають доцентровим. Це окремий випадок нормального прискорення. Тангенціальна складова прискорення при рівномірному обертанні дорівнює нулю.

Прискорення при складному русі точки[ред.ред. код]

Нехай точка M рухається у рухомій системі координат, яка здійснює певний відносний рух відносно нерухомої системи координат, тобто мова йде про складний рух точки.

Рух точки у нерухомій системі координат називають абсолютним, відповідно абсолютними називають траєкторію, швидкість і прискорення цієї точки. Рух точки у рухомій системі координат називають відносним, відповідно відносними називають траєкторію, швидкість і прискорення цієї точки. Рух рухомої системи координат відносно нерухомої є для рухомої точки переносним рухом. Відповідно швидкість і прискорення точки, жорстко зв'язаної з рухомою системою координат, називають переносними.

Теорема додавання швидкостей[ред.ред. код]

Абсолютна швидкість \mathbf{v} точки при складному русі дорівнює векторній сумі відносної \mathbf{v}_r та переносної \mathbf{v}_e швидкостей:

\mathbf{v} = \mathbf{v}_e + \mathbf{v}_r.

Теорема про додавання прискорень (теорема Коріоліса)[ред.ред. код]

Абсолютне прискорення \mathbf{a} точки при складному русі дорівнює векторній сумі відносного \mathbf{a}_r, переносного \mathbf{a}_e прискорень та прискорення Коріоліса \mathbf{a}_c:

\mathbf{a} = \mathbf{a}_e + \mathbf{a}_r + \mathbf{a}_c,

де  \mathbf{a}_c = 2 \boldsymbol{\omega}_e \times \mathbf{v}_r.

Величина прискорення Коріоліса може бути обчислена за:

a_c = 2 \omega_e v_r \sin(\boldsymbol{\omega}_e, \mathbf{v}_r).

Прискорення в динаміці[ред.ред. код]

За другим законом Ньютона прискорення виникає внаслідок дії на тіло сили:

 m \mathbf{a} = \mathbf{F} ,

де  m  — маса тіла,  \mathbf{F}  — рівнодійна всіх сил, що діють на це тіло.

Таким чином, при однаковій силі, що діє на різні тіла, прискорення тіла з меншою масою буде більшим, і, відповідно, прискорення масивнішого тіла — меншим.

Якщо на тіло, що рухається, не діють жодні сили, або ж дія всіх сил на нього зрівноважена, то таке тіло рухається без прискорення, тобто зі сталою швидкістю.

Визначення швидкості та радіус-вектора при відомому прискоренні[ред.ред. код]

Якщо відома залежність прискорення матеріальної точки від часу  \mathbf{a}(t) , то її швидкість визначається інтегруванням:

 \mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{a}(t^\prime) dt^\prime ,

де  \mathbf{v}_0  — швидкість точки в початковий момент часу  t_0 .

Залежність прискорення від часу можна визначити із законів динаміки, якщо відомі сили, що діють на матеріальну точку. Для однозначного визначення швидкості потрібно знати її значення в початковий момент.

Для рівноприскореного руху інтегрування дає:

 \mathbf{v} = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}(t - t_0) .

Відповідно, повторним інтегруванням можна знайти залежність радіус-вектора матеріальної точки від часу, якщо відоме його значення в початковий момент  \mathbf{r}_0 :

 \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \int_{t_0}^t \int_{t_0}^{t^{\prime}} \mathbf{a}(t^{\prime\prime}) dt^{\prime\prime} dt^\prime .

Для рівноприскореного руху:

 \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \mathbf{a} \frac{t^2}{2} .

Для релятивістського випадку (СТВ)[ред.ред. код]

Використовуючи локально-інерціальні системи відліку, можна отримати формальне визначення прискорення через швидкість в рамках релятивістської кінематики. Нехай у момент часу \ t швидкість об'єкта по осі \ Ox мала значення \ v(t) (по іншим осям — нульова), а у момент часу \ t + dt — \ v(t + dt). Це формально відповідає прискоренню цього об'єкта і означає, що в рамках нерелятивістської кінематики приріст швидкості за цей момент часу у власній ІСВ можна виразити як \ dv = adt = adt'. Можна уявити, що є дві ІСВ, що мають відносну швидкість \ adt', і записати для об'єкта обернене перетворення Лоренца:

\ v(t + dt) = \frac{v(t) + adt'}{1 + \frac{v(t)adt'}{c^{2}}} \approx (v(t) + adt')\left(1 - \frac{v(t)adt'}{c^{2}}\right) \approx v(t) - \frac{v^{2}(t)adt'}{c^{2}} + adt' \Rightarrow adt'\left(1 - \frac{v^{2}(t)}{c^{2}}\right) = a\frac{dt}{\gamma} \left(1 - \frac{v^{2}(t)}{c^{2}}\right) =

\ = v(t + dt) - v(t) \Rightarrow \frac{v(t + dt) - v(t)}{dt} = \frac{dv}{dt} = \frac{a}{\gamma}\left(1 - \frac{v^{2}(t)}{c^{2}}\right) = a\left( 1 - \frac{v^{2}(t)}{c^{2}} \right)^{\frac{3}{2}} \Rightarrow a = \frac{d}{dt}\left(\frac{v(t)}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}(t)}{c^{2}}}} \right) \qquad (.1).

Це рівняння можна розв'язати відносно \ v(t). Дійсно, після інтегрування,

\ at + \frac{v_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v_{0}^{2}}{c^{2}}}} = at + const_{1} = \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow (at + const_{1})^{2} = \frac{v^{2}}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \Rightarrow v = \frac{const_{1} + at}{\sqrt{1 + \frac{(const_{1} + at)^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.2).

Отримане рівняння, знову ж таки, можна розв'язати, прийнявши до уваги, що \ v = \frac{dx}{dt}, можна отримати:

\ \int vdt = x = \int \frac{(const_{1} + at)dt}{\sqrt{1 + \frac{(const_{1} + at)^{2}}{c^{2}}}} = \left| const_{1} + at = k, dk = \frac{dt}{a} \right| = \frac{1}{a}\int \frac{kdk}{\sqrt{1 + \frac{k^{2}}{c^{2}}}} = \frac{c^{2}}{2a}\int \frac{d(\frac{k^{2}}{c^{2}})}{\sqrt{1 + \frac{k^{2}}{c^{2}}}} =

\ = x_{0} + \frac{c^{2}}{a}\left(\sqrt{1 + \frac{(at + const_{1})^{2}}{c^{2}}} - \sqrt{1 + \frac{const_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)  \qquad (.3).

Кожне з рівнянь у граничному випадку переходить у рівняння нерелятивістської кінематики. Дійсно, із \ (.1) при \ c-> \infty одразу виходить вираз

\ a = \frac{dv}{dt},

із \ (.2) -

\ v \approx (const_{1} + at)\left(1 - \frac{(const_{1} + at)^{2}}{c^{2}} \right) \approx const_{1} + at \approx |const_{1} \approx v_{0}| = v_{0} + at,

а з \ (.3) -

\ x \approx x_{0} + \frac{c^{2}}{a}\left( 1 + \frac{(const_{1} + at)^{2}}{c^{2}} - 1 - \frac{const_{1}^{2}}{c^{2}}\right) = x_{0} + \frac{c^{2}}{a}\frac{1}{2c^{2}}2const_{1}at + \frac{c^{2}}{a^{2}}\frac{a^{2}t^{2}}{2c^{2}} = x_{0} + const_{1}t + \frac{at^{2}}{2} \approx x_{0} + v_{0}t + \frac{at^{2}}{2}.

4-вектор прискорення[ред.ред. код]

У теорії відносності рух із змінною швидкістю теж характеризується певною величиною, аналогічною прискоренню, але на відміну від звичайного прискорення 4-вектор прискорення є другою похідною від 4-вектора координат не по часу, а по просторово-часовому інтервалу.

 a^i = \frac{d^2 x^i}{ds^2} = \frac{d u^i}{ds} .

4-вектор прискорення завжди «перпендикулярний» 4-швидкості

 u_i a^i = 0 \,.

Особливістю руху в теорії відносності є те, що швидкість тіла ніколи не може перевищити значення швидкості світла. Навіть у випадку, якщо на тіло діятиме стала сила, його прискорення зменшується зі зростанням швидкості й прямує до нуля при наближенні до швидкості світла.

У класичній механіці значення прискорення не змінюється при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої, тобто прискорення інварівантне щодо перетворень Галілея. 4-прискорення у теорії відносності є 4-вектором, тобто при перетвореннях Лоренца змінюється аналогічно просторово-часовим координатам.

У системі відліку, що рухається з прискоренням, на тіло діє сила інерції. Загальна теорія відносності постулює через принцип еквівалентності, що силу інерції неможливо відрізнити від гравітаційного поля, що зв'язано з рівністю інерційної та гравітаційної маси.

Вимірювання[ред.ред. код]

Підготовка студентів НТУ до випробувань гальмівної системи автомобіля (Лабораторія ДП Укрметртестстандарт. GPS-система вимірювання шляху-швидкості-сповільнення/прискорення MicroSAT R20 із програмним забезпеченням MicroSAT RT. м. Київ. 18-04-2013)

Значення прискорення матеріального тіла може бути визначене безпосередньо чи опосередковано різними методами. До найбільш поширених із них відносяться:

  1. Вимірювання сили \mathbf{F}\;, що діє на чутливий орган масою \mathbf{m}\; приладу чи його датчика, або деформації елементів кріплення чутливого органа, чи його переміщення під дією сили інерції, яка виникає під часу руху матеріального тіла із прискоренням.
  2. Безпосереднє вимірювання відрізків шляху \mathbf{d\mathbf{r}}\;, який проходить матеріальне тіло за достатньо короткий проміжок часу \mathbf{dt}\;, і подальше визначення приросту чи зменшення Δ\mathbf{r}\; кожного із відрізків шляху за цей же достатньо короткий проміжок часу \mathbf{dt}\; для того, щоб визначити поточні значення \mathbf\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \; .

До засобів вимірювання прискорення, у яких застосовано перший із наведених методів, відносяться так звані акселерометри, деселерометри та/або акселерографи і деселерографи. Оскільки аналогічні сили виникають також і в полі тяжіння, то за допомогою акселерометрів можна вимірювати також і гравітацію. Акселерографи — прилади, що вимірюють й автоматично реєструють (у вигляді графічних залежностей та/або електронних таблиць чи файлів даних із послідовним доступом) поточні значення прискорень поступального та/або обертального руху.

До засобів вимірювання прискорення, у яких застосовано другий із наведених методів, відносяться так звані прилади типу «п'яте колесо», які можуть бути механічними, оптичними, із електромагнітним чи інфрачервоним випромінюванням (із застосуванням ефекту Доплера) тощо. Найбільшого поширення набувають прилади, що базуються на професійних GPS-системах із застосуванням GPS-приймачів, що підтримують прийом диференційованих поправок від геостаціонарних служб навігаційного покриття EGNOS та/або WAAS, які забезпечують точність визначення координат від 28 мм до 28 см в залежності від виробника, застосованого алгоритму оброблення даних та кількості супутників, від яких одночасно приймаються сигнали.

Приклади прискорень[ред.ред. код]

Значення прискорень для різних випадків руху:[2]

Вид руху Величина прискорення, м/с2
Пасажирський ліфт 0,9…1,6
Поїзд метро 1
Автомобіль марки «Жигулі» 1,5
Бігун на короткі дистанції 1,5
Велосипедист 1,7
Ковзаняр 1,9
Мотоцикл 3…6
Екстрене гальмування автомобіля 4…8
Усейн Болт, максимальне прискорення 8[3]
Гоночний автомобіль 8…9
Гальмування при відкриванні парашута 30 (3g)
Запуск та гальмування космічного корабля 40…60 (4…6g)
Маневр реактивного літака до 100 (до 10g)
Паля після удару копром 300
Поршень двигуна внутрішнього згоряння 3 · 103
Куля в стволі гвинтівки 2,5 · 105
Мікрочастки у прискорювачі заряджених часток (2…50) · 1014

Примітка: тут прийнято, що g ≈ 10 м/с2.

Цікаві факти[ред.ред. код]

Максимальне прискорення твердого тіла, яке вдалося отримати в лабораторних умовах, становило 1010g[4][5]. Для досліду вчені застосували так звану Z-машину (Z Machine), яка створює надзвичайно потужний імпульс магнітного поля, який прискорює в спеціальному каналі снаряд — алюмінієву пластинку розміром 30×15 мм і товщиною 0,85 мм. Швидкість снаряда становила приблизно 34 км/с (у 50 разів швидше за кулю).

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. ДСТУ 3651.1-97 Метрологія. Одиниці фізичних величин. Похідні одиниці фізичних величин. Міжнародної системи одиниць та позасистемні одиниці.
  2. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. — М.: Наука, 1988. — С. 61. — ISBN 5-02-013833-9
  3. Графік залежності прискорення У. Болта від часу — забіг на 100 м на літніх Олімпійських іграх 2008 року в Пекіні
  4. Досягнуто прискорення твердого тіла у 10 мільярдів g
  5. http://www.sandia.gov/news-center/news-releases/2005/nuclear-power/z-saturn.html

Джерела[ред.ред. код]

  • Безвесільна О. М. Вимірювання прискорень. — К.: Либідь, 2001. — 264 с. — ISBN 966-06-0193-X
  • Вайданич В. І., Пенцак Г. М. Фізика. — Л.: Національний лісотехнічний університет України, 2009. — 664 с. — ISBN 5-7763-0227-7
  • Воловик П. М. Фізика для університетів. — К.: Перун, 2011. — 864 с. — ISBN 966-569-172-4
  • Гончаренко С. У. Фізика: Основні закони і формули. — К.: Либідь, 1996. — 48 с.
  • Дідух Л. Д. Основи механіки. — Т.: Підручники і посібники, 2010. — 304 с. — ISBN 978-966-07-1817-3
  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Іванків Я. І., Палюх Б. М. Механіка. — К.: ІСДО, 1995. — 228 с. — ISBN 5-7763-9897-5
  • Козицький С. В., Поліщук Д. І. Механіка // Курс загальної фізики. — О.: Астропринт, 2011. — Т. 1. — 471 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Современная наука о природе. Законы механики // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — Т. 1. — 260 с.
  • Crew H. The Principles of Mechanics. — BiblioBazaar, LLC, 2008.

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.