Представлення алгебри Лі

Представленням алгебри Лі (точніше, лінійним представленням алгебри Лі) називається гомоморфізм із алгебри Лі $L$ у повну лінійну алгебру перетворень деякого векторного простору $V$

$\varphi\colon L\to \mathfrak{gl}(V)$.

Під гомоморфизмом алгебр Лі мається на увазі таке відображення, що $\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$ для будь-яких $x,y\in L$. При цьому алгебра Лі $L$ і векторний простір $V$ мають бути над одним і тим же полем $K$.

Приклади представлень алгебр Лі

Важливим прикладом представлення є приєднане представлення алгебри Лі $\mathrm{ad}\colon L\to\mathfrak{gl}(L)$. Це представлення співставляє елементу $x\in L$ оператор $\mathrm{ad}\;x$, що діє на елементи з $L$ за правилом $\mathrm{ad}\;x(y)=[x,y]$.

Див. також

Представлення групи

Література

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003