Поле (алгебра)

По́ле (англ. field — поле, нім. körper — тіло) — це алгебраїчна структура, для якої визначені дві пари бінарних операцій: додавання/віднімання та множення/ділення, причому ці операції задовольняють умовам, схожим на властивості арифметичних операцій над раціональними, дійсними або комплексними числами.

Формальне означення

Поле — це комутативне кільце $\ F$ з одиницею, в якому кожний ненульовий елемент $\ a\ne 0$ має обернений $a^{-1}\in F$; як правило, в означенні вимагають також існування принаймні одного ненульового елемента.

Якщо підмножина $\ F$ поля $\ L$ сама утворює поле щодо операцій в $\ L$ (з тими самими нулем і одиницею), то $\ F$ називається підполем $\ L,$ а $\ L$ — розширенням поля $\ F$. Позначається $\ L/ F.$

Історія

Поняття поля неявно використовувалось Нільсом Абелем та Еваристом Галуа для дослідження розв'язків алгебраїчних рівняннь 5-го та вищих степенів.

У 1871 Ріхард Дедекінд ввів поняття нім. körper — тіло, для множини дійсних та комплексних чисел, щоб показати їх замкнутість відносно арифметичних операцій. Від тоді почала шикоро застосовуватись літера $\ K$ для позначення полів. В 1893 І.Х Мур ввів для цього поняття назву англ. field — поле.

У сучасній математиці розглядаються також і скінченні поля, що відіграють провідну роль у застосуваннях, зокрема, до комп'ютерних наук, криптографії та теорії кодування.

Приклади

• Полем є: раціональні числа $\Q$, дійсні числа $\R$, комплексні числа $\C$. Кожне наступне з цих полів є розширенням попереднього:

$\Q \subset \R \subset \C.$

Так само, множина всіх алгебраїчних чисел замкнена відносно алгебраїчних операцій, а тому утворює поле, яке містить $\mathbb{Q}$ і міститься в $\mathbb{C}.$

• Якщо $p\,$ — просте число, то кільце лишків $(\operatorname{mod}\, p)\,$ — це скінченне поле з $p\,$ елементів, яке позначається

$GF(p) = \mathbb{F}_p = \Z / p\Z.$

Називається — поле Галуа порядку $p\,$, назване так на честь Евариста Галуа, який першим розглянув скінченні поля.

• Мероморфні функції $f(z)\,$ на одиничному крузі $D=\{z:|z|<1\}\,$, з операціями поточкового додавання та множення, утворюють поле.

Зауваження

• Цілі числа $\Z$ поле НЕ утворюють, тому що, наприклад, 2 не має оберненого в $\Z.$

• Для кожного натурального $n\in\N$ існує єдине (не враховуючи ізоморфізмів) поле Галуа $GF(p^n)=\mathbb{F}_{p^n}\,$,

що складається з $p^n\,$ елементів, але для $n\geq 2$ це поле НЕ дорівнює кільцю лишків $\Z/p^n\Z$. Насправді, $p\cdot p^{n-1}=0(mod \; p^n)\,$, тому $p\ne 0\,$ не має оберненого в $\Z/p^n\Z.$

Термінологія

Характеристика поля $\ F$, що позначається $\ char F$ — це найменше натуральне число $n\,$, для якого сума $1+1+\ldots+1\,$ ($n\,$ доданків) дорівнює $0\,$, якщо ж такого числа не існує, то вважається, що характеристика поля рівна нулю. В наведеному означенні $0\,$ та $1\,$ позначають "абстрактні" нуль та одиницю поля $\ F$, тобто нейтральні елементи відповідно додавання та множення в цьому полі, а не звичайні числа нуль та одиницю.

Щодо характеристик полів, приклади яких наведено в попередньому розділі, то поля раціональних, дійсних і комплексних чисел, а також поле мероморфних функцій мають характеристику нуль, у той час як будь-яке скінченне поле з $q=p^n\,$ елементів, де $p\,$ — просте число,має характеристику $\ p>0.$

Взагалі, в довільному полі $\ F$ існує єдине найменше (так зване просте) підполе. Це або поле, ізоморфне полю раціональних чисел $\Q$ (якщо $\ char F=0$), або поле $GF(p)\,$ з $p\,$ елементів, (якщо $\ char F=p.$)

Зокрема, будь-яке розширення поля має таку ж характеристику, як і саме поле. Поля додатної характеристики мають незвичайні властивості, які істотно відрізняють їх від полей характеристики нуль.

Поле $\ F$ — алгебраїчно замкнене, якщо будь-який многочлен з коефіцієнтами в $\ F$ має принаймні один корінь у $\ F.$

За основною теоремою алгебри, поле $\C$ комплексних чисел є алгебраїчно замкнененим, на відміну від поля раціональних чисел $\Q$ і скінченних полів.

Конструкції полів

Припустимо, що комутативне кільце з одиницею $R\,$ не має дільників нуля, тобто для будь-яких $a,b\in R\,$ з рівності $ab=0\,$ випливає, що $a=0\,$ або $b=0\,$. Тоді існує єдине найменше поле $Q(R)\,$, яке містить у собі $R\,$. Це поле називається полем часток кільця $R\,$ і може бути утворено наступним способом (який узагальнює перехід від кільця цілих чисел $\Z$ до поля раціональних чисел $\Q$). Спочатку розглядається множина всіх формальних виразів вигляду $\frac{a}{b}\,$, де $a,b\in R, b\ne 0\,$. Ці вирази додаються і множаться на зразок звичайних дробів:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

Два вирази називаються еквівалентними, $\frac{a}{b}\sim\frac{a'}{b'}\,$, якщо $ab'=a'b\,$. Тоді поле часток $Q(R)\,$ — це множина класів еквівалентності виразів, з означенними вище операціями. Можна довести, що утворена таким чином структура — це комутативне кільце, де роль нуля та одиниці відіграють класи еквівалентності відповідно $\frac{0}{1}$ та $\frac{1}{1}$, а класи еквівалентності виразів $\frac{a}{1}$ є замкнененими відносно додавання та множення і утворюють кільце, ізоморфне $R\,$ (для цього потрібно переконатися, що з $\frac{a}{1}\sim\frac{a'}{1}$ випливає $a=a'\,$, а це справджується завдяки відсутності дільників нуля у $R\,$). До того ж, будь-який ненульовий клас еквівалентності $\quad \frac{a}{b} \quad (a,b\ne 0)$ має обернений $\frac{b}{a}=\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}$, тому ми одержуємо поле.

Якщо застосувати цю конструкцію до кільця поліномів $\mathbb{K}[x]$, то одержимо поле раціональних функцій $\mathbb{K}(x)=Q(\mathbb{K}[x]).$

Див. також

• Тіло (алгебра)

Джерела

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564.