Розбиття Хегора

Розбиття Хегора — розбиття компактного орієнтованого тривимірного многовиду на два тіла з ручками.

Названо на честь Пола Хегора, який поклав початок вивченню таких розбиттів 1898 року.

Конструкція

Для будь-якого компактного тривимірного многовиду $M$ існує поверхня $S$, яка розрізає $M$ на два тіла з ручками, тобто на многовиди, гомеоморфні замкнутій області евклідового простору, обмеженій поверхнею.

Рід поверхні $S$ називають родом розбиття. Розбиття $M$ називають мінімальним, якщо $M$ не допускає розбиття меншого роду. Мінімальне значення роду поверхні називають родом Хегора многовиду $M$.

Приклади

• Тривимірна сфера $S^{3}$ допускає розбиття Хегора роду нуль. Інакше кажучи, 2-вимірна сфера розрізає $S^{3}$ на дві кулі.
  • Більш того, всі многовиди, що допускають розбиття Хегора роду нуль, гомеоморфні $S^{3}$.
• Вкладений тор розбиває сферу на два повні тори, що дає інше розбиття Хегора $S^{3}$ роду 1. (Див. також розшарування Гопфа.)
• Лінзові простори допускають розбиття Хегора роду один. Інакше кажучи, будь-який лінзовий простір можна розрізати тором на два повні тори.

Властивості

• Лема Александера: з точністю до ізотопії, існує єдине (кусково-лінійне) вкладення двовимірної сфери в тривимірну сферу.
  • Цю теорему можна переформулювати так: тривимірна сфера $S^{3}$ допускає єдине розбиття Хегора роду нуль.

• Теорема Вальдгаузена: кожне розбиття $S^{3}$ виходить з розбиття роду нуль операцією зв'язної суми з розбиттям сфери роду 1.

• Теорема Рейдемейстера — Зінгера: для будь-якої пари розбиттів $H_{1}$ і $H_{2}$ многовиду $M$ існує третє розбиття $H$, яке є стабілізацією обох. Тобто $H$ можна отримати з $H_{1}$ і $H_{2}$ взяттям зв'язної суми з розбиттям $S^{3}$ роду 1.

• Будь-яка мінімальна поверхня в тривимірному рімановому многовиді додатної кривини задає розбиття Хегора.

Література

• Математическая энциклопедия. М.: 197* — 1985, том 5, стр.780. (Разбиение Хегора.)
• Фоменко, А. Т. Геометрия и топология. Наглядная геометрия и топология. М. 1992. (Глава 2. Многообразия малой размерности.)