Компактний простір

Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.

В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.

В математичному аналізі компактна множина - це обмежена й замкнута множина в $\mathbb{R}^n$.

Пов'язані визначення

• Підмножина топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називається компактною множиною або компактом.
• Множина називається відносно компактною чи предкомпактною, якщо її замикання компактне.

Властивості

Загальні властивості

• Кожна замкнута підмножина компактного топологічного простору є компактною
• Для будь-якого неперервного відображення образ компакта — компакт.
• Компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнута.
• Теорема Тихонова: добуток довільного числа компактних множин (з топологією добутку) компактний.
• Будь-яке неперервне взаємно-однозначне відображення компакта в гаусдорфів простір є гомеоморфізмом.
• У компактних просторах кожне центроване сімейство замкнутих множин, тобто сімейство, в якому перетини скінченних підсімейств не порожні, має непорожній перетин. Див. також Лема про вкладені відрізки.
• Всяка неперервна функція із компактного топологічного простору в $\mathbb{R}^n$ є обмеженою і досягає свого і найменшого значення.
• Образ компактного топологічного простору при неперервному відображенні теж є компактним

Властивості компактних метричних просторів

• Метричний простір компактний тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність точок в ньому містить підпослідовність, що збігається.
• Для скінченовимірних евклідових просторів підпростір є компактом тоді і тільки тоді, коли він обмежений і замкнений. Про простори, що мають таку властивість, говорять, що вони задовольняють властивості Гейне — Бореля. Див. також Теорема Больцано — Вейерштрасса.
• Лема Лебега: Для будь-якого компактного метричного простору і відкритого покриття $\{V_\alpha\},\ \alpha\in A$ існує додатнє число $\,\! r$ таке, що будь-яка підмножина, діаметр якої менший за $\,\! r$, міститься в одній з множин $\,\! V_\alpha$. Таке число називається числом Лебега.
• У компактних просторах кожен ультрафільтр сходиться принаймні до однієї точки.

Приклади компактних множин

• в будь-якому топологічному просторі множина, що скаладається з однієї точки завжди компактна.
• замкнуті і обмежені множини в $\mathbb{R}^n$
• скінченні підмножини в просторах, що задовольняють аксіомі віддільності $\mathbf{T}_1$
• теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір $C(X)$ дійсних функцій на метричному компактному просторі $X$ з нормою $\|f\|=\sup_x |f(x)|$. Тоді замикання множини функцій $F$ в $C(X)$ компактно тоді і тільки тоді, коли $F$ рівномірно обмежена і рівностепенево безперервна.
• простір Стоуна булевої алгебри
• компактифікація топологічного простору

Історія

Бікомпактний простір — термін, введений П.С.Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченому відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіший за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають злічено-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.

Див. також

• Теорема Александрова про компактифікацію

Література

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
• Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.
• R. Wald, General Relativity