Рівняння Чепмена — Колмогорова

Еволюція функцій густини ймовірності в початковий момент часу $t_{0}$(дельта), кінцевий момент часу $t$ та в деякий проміжковий момент $t'$.

Рівняння Чепмена-Колмогорова — рівняння, що пов'язує умовні ймовірності для марківського процесу в різні моменти часу.

Авторами рівняння є британський математик Сідні Чепмен та радянський математик Андрій Колмогоров.

Формулювання

Нехай $P(z,t|z_{0},t_{0})$ — умовна функція густини ймовірності для марківського процесу $\xi (t)$ (тобто ймовірність знайти випадкову змінну в інтервалі $z\leq \xi \leq z+dz$ в момент часу $t$ за умови, що $\xi =z_{0}$ в момент часу $t_{0}$ дорівнює $P(z,t|z_{0},t_{0})dz$). Тоді рівняння Чепмена-Колмогорова

$P(z,t|z_{0},t_{0})=\int P(z,t|z',t')P(z',t'|z_{0},t_{0})dz',~~~~t_{0}<t'<t~.$

пов'яже функції густини ймовірності в початковий момент часу $t_{0}$, кінцевий момент часу $t$ та в деякий проміжковий момент $t'$.

Часто зустрічається запис рівняння Чепмена-Колмогорова через інтервали $\tau =t'-t_{0}$ та $\sigma =t-t'$. Тоді $P(z,t|z_{0},t_{0})=P(z|z_{0},\sigma +\tau )$ і рівняння Чепмена-Колмогорова набуває вигляду

$P(z|z_{0},\sigma +\tau )=\int P(z|z',\sigma )P(z'|z_{0},\tau )dz',~~~~\sigma ,\tau >0~.$

Застосування

З рівняння Чепмена-Колмогорова отримується рівняння Фоккера-Планка.

Див. також

• Майстер-рівняння
• Марківський процес
• Рівняння Фоккера-Планка

Література

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. — М. : Мир, 1974. — 37 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.
• Risken H. The Fokker-Planck Equation. — Berlin : Springer-Verlag, 1984.