Умовна ймовірність

Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — фіксований ймовірнісний простір. Нехай $A,B\in \mathcal{F}$ дві випадкової події, причому $\mathbb{P}(B)>0$. Тоді умовною ймовірністю події $A$ при умові події $B$ називається

$\mathbb{P}(A \vert B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.$

Властивості

• Прямо з визначення очевидно випливає, що

$\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \vert B) \; \mathbb{P}(B).$

• Якщо $\mathbb{P}(B) = 0$, то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

• Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція $\mathbb{Q}:\mathcal{F}\to \mathbb{R}$, задана формулою

$\mathbb{Q}(A) = \mathbb{P}(A \vert B ),\; \forall A \in \mathcal{F},$

задовольняє всім аксіомам імовірнісної міри.

Приклад

Якщо $A,B$ — несумісні події, тобто $A \cap B = \varnothing$ та $\mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0$, тоді

$\mathbb{P}(A \vert B) = 0$

та

$\mathbb{P}(B \vert A) = 0$.

Див. також

• Незалежність подій;
• Умовне математичне сподівання;
• Формула повної ймовірності;
• Теорема Баєса.

Література

• Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Williams D., Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6