Список границь

Це список границь для поширених функцій.

Поліноми та функції вигляду x^a

• $\lim _{x\to c}a=a$ для всіх $c,a\in \mathbb {R}$.

Поліноми

• $\lim _{x\to c}x=c$ для всіх $c\in \mathbb {R}$;
• $\lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b$ для всіх $a,b,c\in \mathbb {R}$;
• $\lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}$ для всіх $n\in \mathbb {N}$, $c\in \mathbb {R}$;
• $\lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{не існує}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}$ для всіх $a\in \mathbb {R}$.

Загалом, якщо $p(x)$ є поліномом, то за неперервністю поліномів

$\lim _{x\to c}p(x)=p(c)$.

Це також справедливо для раціональних функцій, оскільки вони неперервні у своїй області визначення.

Функції вигляду x^a

• $\lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}$. Зокрема
  • $\lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}$
• $\lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}$. Зокрема
  • $\lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty$ для будь-якого $a>0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&n{\text{ - непарне}}\\+\infty ,&n{\text{ - парне}}\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0$ для довільного $a\in \mathbb {R}$.

Експоненціальні функції

Функції вигляду a^g(x)

• $\lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}$;
• $\lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}$;
• $\lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}$;
• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{не існує}},&a<0\end{cases}}$.

Функції вигляду x^g(x)

• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1$.

Функції вигляду f(x)^g(x)

• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$ — друга чудова границя;
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$;
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=\lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}$;
• $\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}$;
• $\lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}$.

Частки, добутки та композити

• $\lim _{x\to 0}xe^{-x}=0$;
• $\lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0$;
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a}$ для всіх $a>0$;
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1$;
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a$ для всіх $a>0$.

Логарифмічні функції

Натуральний логарифм

• $\lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c$ для всіх $c>0$. Зокрема
  • $\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$,
  • $\lim _{x\to \infty }\log x=+\infty$.
• $\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$;
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1$;
• $\lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a$ — виводиться за правилом Лопіталя;
• $\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0$;
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$.

Логарифми з довільною основою

Для b > 1,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty$,
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty$.

Для b < 1,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty$,
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty$.

Для обох випадків можна узагальнити:

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty$,
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty$,

де $F(x)=2H(x-1)-1$ і $H(x)$ — функція Гевісайда.

Тригонометричні функції

• $\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$
• $\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ — перша чудова границя. Узагальнення:
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1$ при $a\neq 0$,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a$ для всіх $a\in \mathbb {R}$,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$ при $b\neq 0$.

• $\lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$
• $\lim _{x\to n^{\pm }}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty$ для всіх $n\in \mathbb {Z}$.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0$, де $x_{0}\in \mathbb {R}$ — довільне.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d$, де $d$ — число Дотті, $x_{0}\in \mathbb {R}$ — довільне.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)