e (число)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
e — це число, при якому похідна (іншими словами,тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = ax (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2x (точкова крива) та 4x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Число е — фундаментальна математична константа, математична величина, що є основою натуральних логарифмів. Іноді число e називають числом Ейлера або числом Непера. Відіграє важливу роль у диференціальному й інтегральному численні, а також багатьох інших розділах математики.

Історія[ред.ред. код]

Це число іноді називають неперовим на честь шотландського вченого Джона Непера, автора роботи «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614). Проте ця назва не зовсім коректна, оскільки у нього логарифм числа x дорівнював 10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!.

Вперше константа неявно з'явилася в додатку до перекладу англійською мовою вищезазначеної роботи Непера, опублікованому в 1618. Неявно, тому що там міститься тільки таблиця натуральних логарифмів, саму ж константу не визначено. Схоже, автором таблиці був англійський математик Вільям Отред. Саму ж константу вперше вивів швейцарський математик Якоб Бернуллі при спробі обчислити значення наступної границі:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Ця границя виникла внаслідок розв'язування задачі про складені відсотки, спрощений варіант якої формулюється таким чином:

Ви ставите на депозит в банку 1 гривню під 100% річних, причому відсоток нараховується в кінці терміну. В результаті ви отримаєте 2 гривні. А яку суму ви отримаєте, якщо відсотки нараховуватимуться періодично і ви матимете змогу докладати нараховані відсотки до основного депозитного рахунку ?

Якщо відсоток нараховується двічі на рік, то в кінці першого періоду ви отримаєте 50%, які зразу ж покладете до депозиту. В результаті в кінці терміну в вас буде 1.00×1.52 = 2.25 гривні. Якщо виплата відсотків буде поділена на 4 однакові частини, то ви матимете відповідно 1.00×1.254 = 2.4414 гривні. Якщо виплата буде щомісячною, то результат буде $1.00×(1+1/12)12 = 2.613035. Для довільного n результуюча сума буде 1.00×(1 + 1/n)n. Загальнішу задачу з довільною відсотковою ставкою p та початкової сумою s легко звести до вже існуючої.

Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася літерою b, зустрічається в листах Ґотфріда Лейбніца Христіану Гюйґенсу, 1690 і 1691 рр. Літеру e почав використовувати Леонард Ейлер в 1727 р., а першою публікацією з цією літерою була його робота «Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично» 1736 р. Відповідно, e іноді називають числом Ейлера. Хоча згодом деякі учені використовували літеру с, літера e застосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.

Чому була вибрана саме літера e, точно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential («показниковий», «експоненціальний»). Інше припущення полягає в тому, що літери а, b, c і d вже досить широко використовувалися в інших цілях і e була першою «вільною» літерою. Неправдоподібне припущення, що Ейлер вибрав e як першу літеру в своєму прізвищі (нім. Euler), оскільки він був дуже скромною людиною і завжди прагнув підкреслити значущість праці інших людей.

Значення[ред.ред. код]

e \approx 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930

Означення числа[ред.ред. код]

Число Непера є границею послідовності:
e=\lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^n \approx 2.718281828
Використавши формулу бінома Ньютона, можна отримати числовий ряд для обчислення числа:

e =\lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^n
=\lim_{n \to \infty}\left( {n \choose 0} \cdot 1  
+ {n \choose 1}  {1\over n} + {n \choose 2}{1 \over n^2} 
+ {n \choose 3}{1 \over n^3} + \cdots \right)
= \lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over 1!}{n \over n} 
+ {1 \over 2!}{n(n-1) \over n^2} 
+ {1 \over 3!}{n(n-1)(n-2) \over n^3} 
+ \cdots \right)
= \lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over 1!}\cdot 1 
+ {1 \over 2!} \left( 1 - {1 \over n} \right) 
+ {1 \over 3!} \left( 1 - {1 \over n} \right) \left( 1 - {2 \over n} \right) 
+ \cdots \right)
= 1+{1 \over 1!} 
+ {1 \over 2!} 
+ {1 \over 3!} 
+ \cdots

Властивості числа[ред.ред. код]

Число е зустрічається мало не в кожній праці з математики і фізики. Причиною цього є його цікаві властивості.

  1. Похідна експоненційної функції дорівнює самій функції: (e^x)^\prime=e^x.
  2. Це саме стосується і первісної (з точністю до константи): \int e^x\, dx=e^x+C.
  3. Надзвичайно важливою є формула Ейлера:  e^{ix} = \cos x + i \sin x \
  4. Як наслідок, маємо формулу, що об'єднує чотири фундаментальні константи арифметики, алгебри, геометрії та аналізу: e^{i\pi}+1=0. \,\!
  5. \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = 1.
  6. З допомогою функції Гауса e^{-x^2} побудована математична статистика.
  7. А завдяки цінній властивості \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}=\sqrt{\pi} ця ж функція є основою обчислень у квантовій хімії.
  8. Для будь-якого комплексного числа z вірна наступна рівність: e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.

Число e ірраціональне і навіть трансцендентне. Це перше число, яке не було виведено як трансцендентне спеціально, його трансцендентність була доведена тільки в 1873 році Шарлем Ермітом. Передбачається, що e — нормальне число, тобто ймовірність появи кожної з десяти його цифр однакова.

Посилання[ред.ред. код]