Раціональна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Раціональна функція однієї змінної — це алгебраїчний вираз, що є відношенням двох многочленів, тобто має вигляд

 \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0}{b_m x^m +\ldots + b_1 x + b_0}.

При цьому коефіцієнти многочленів належать деякому заздалегідь визначеному полю, наприклад, множині дійсних або комплексних чисел. Причому коефіцієнти зовсім не обов'язково мають бути раціональними числами.

Степенем раціональної функції називається максимум з степенів многочленів P та Q. Раціональні функції степеня 1 називаються перетворенням Мебіуса.

Раціональна функція визначена для всіх значень змінних, крім тих, при яких знаменник перетворюється в нуль.

Функції, які неможливо представити у вигляді відношення двох многочленів, називають ірраціональними функціями.

На раціональні функції поширюються арифметичні дії (додавання, множення, віднімання і ділення). Сукупність усіх раціональних функцій сама утворює поле, так зване поле раціональних функцій. Раціональні функції належать до ширшого класу елементарних функцій.

Так само визначаються раціональні функції кількох змінних

R(x) = \frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}

Властивості[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

Приклади раціональних функцій

Раціональна функція степеня 2
Раціональна функція степеня 2: y = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}
Раціональна функція степеня 3
Раціональна функція степеня 3: y = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}
Раціональна функція f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)} не визначена при x^2=5 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}.
Раціональна функція f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} визначена на всіх дійсних числах, але не на всіх комплексних числах. Невизначеність виникає коли x є квадратним коренем з -1 (т.з. i - уявна одиниця або -i), коли виникає ділення на нуль: f(i) = \frac{i^2 + 2}{i^2 + 1} = \frac{-1 + 2}{-1 + 1} = \frac{1}{0}.
Раціональна функція f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}, при x що прямує до нескінченності, прямує до \frac{x}{2}.
Функція-константа, наприклад f(x) = π є раціональною функцією тому що константа є многочленом (виродженим). Зауваження. Функція є раціональною навіть коли f(x) є ірраціональним числом при всіх x.
Раціональна функція f(x) = \frac{x}{x} дорівнює 1 для всіх x крім 0, що є усувною особливою точкою.

Література[ред.ред. код]

  • Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального числення», Т I, Москва 1966.

Дивись також[ред.ред. код]