Таблиця інтегралів гіперболічних функцій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Це список інтегралів (первісних функцій) гіперболічних функцій. Для повішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів.

У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа, C означає константу інтегрування.

\int\text{sh}\; x\; dx = \frac{\text{ch}\; ax}{a}+C\,
\int\text{ch}\; x\; dx = \frac{\text{sh}\; ax}{a}+C\,
\int\text{sh}^2 ax\,dx = \frac{\text{sh}\; 2ax}{4a} - \frac{x}{2}+C\,
\int\text{ch}^2 ax\,dx = \frac{\text{ch}\; 2ax}{4a} + \frac{x}{2}+C\,
\int\text{th}^2 ax\,dx = x - \frac{\text{th}\; ax}{a}+C\,
\int\text{sh}^n ax\,dx = \frac{\text{sh}^{n-1} ax\; \text{ch}\; ax}{an} - \frac{n-1}{n}\int\text{sh}^{n-2} ax\,dx \qquad ( для n>0)\,
також: \int\text{sh}^n ax\,dx = \frac{\text{sh}^{n+1} ax\; \text{ch}\; ax}{a(n+1)} - \frac{n+2}{n+1}\int\text{sh}^{n+2}ax\,dx \qquad ( для n<0\mbox{, }n\neq -1)\,
\int\text{ch}^n ax\,dx = \frac{\text{sh}\; ax\;\text{ch}^{n-1} ax}{an} + \frac{n-1}{n}\int\text{ch}^{n-2} ax\,dx \qquad ( для  n>0)\,
також: \int\text{ch}^n ax\,dx = -\frac{\text{sh}\; ax\;\text{ch}^{n+1} ax}{a(n+1)} - \frac{n+2}{n+1}\int\text{ch}^{n+2}ax\,dx \qquad( для  n<0\mbox{, }n\neq -1)\,
\int\frac{dx}{\text{sh}\; ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\text{th}\frac{ax}{2}\right|+C\,
також: \int\frac{dx}{\text{sh}\; ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\text{ch}\; ax - 1}{\text{sh}\; ax}\right|+C\,
також: \int\frac{dx}{\text{sh}\; ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\text{sh}\; ax}{\text{ch}\; ax + 1}\right|+C\,
також: \int\frac{dx}{\text{sh}\; ax} = \frac{1}{a} \ln\left|\frac{\text{ch}\; ax - 1}{\text{ch}\; ax + 1}\right|+C\,
\int\frac{dx}{\text{ch}\; ax} = \frac{2}{a} \text{arctg}\; e^{ax}+C\,
\int\frac{dx}{\text{sh}^n ax} = -\frac{\text{ch}\; ax}{a(n-1)\text{sh}^{n-1} ax}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\text{sh}^{n-2} ax} \qquad( для  n\neq 1)\,
\int\frac{dx}{\text{ch}^n ax} = \frac{\text{sh}\; ax}{a(n-1)\text{ch}^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\text{ch}^{n-2} ax} \qquad ( для  n\neq 1)\,
\int\frac{\text{ch}^n ax}{\text{sh}^m ax} dx = \frac{\text{ch}^{n-1} ax}{a(n-m)\text{sh}^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\text{ch}^{n-2} ax}{\text{sh}^m ax} dx \qquad ( для  m\neq n)\,
також: \int\frac{\text{ch}^n ax}{\text{sh}^m ax} dx = -\frac{\text{ch}^{n+1} ax}{a(m-1)\text{sh}^{m-1} ax} + \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\text{ch}^n ax}{\text{sh}^{m-2} ax} dx \qquad ( для m\neq 1 )\,
також: \int\frac{\text{ch}^n ax}{\text{sh}^m ax} dx = -\frac{\text{ch}^{n-1} ax}{a(m-1)\text{sh}^{m-1} ax} + \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\text{ch}^{n-2} ax}{\text{sh}^{m-2} ax} dx \qquad ( для  m\neq 1)\,
\int\frac{\text{sh}^m ax}{\text{ch}^n ax} dx = \frac{\text{sh}^{m-1} ax}{a(m-n)\text{ch}^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-m}\int\frac{\text{sh}^{m-2} ax}{\text{ch}^n ax} dx \qquad ( для  m\neq n)\,
також: \int\frac{\text{sh}^m ax}{\text{ch}^n ax} dx = \frac{\text{sh}^{m+1} ax}{a(n-1)\text{ch}^{n-1} ax} + \frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\text{sh}^m ax}{\text{ch}^{n-2} ax} dx \qquad ( для  n\neq 1)\,
також: \int\frac{\text{sh}^m ax}{\text{ch}^n ax} dx = -\frac{\text{sh}^{m-1} ax}{a(n-1)\text{ch}^{n-1} ax} + \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\text{sh}^{m -2} ax}{\text{ch}^{n-2} ax} dx \qquad ( для  n\neq 1)\,
\int x\;\text{sh}\; ax\,dx = \frac{x\;\text{ch}\; ax}{a} - \frac{\text{sh}\; ax}{a^2}+C\,
\int x\;\text{ch}\; ax\,dx = \frac{x\;\text{sh}\; ax}{a} - \frac{\text{ch}\; ax}{a^2}+C\,
\int x^2 \text{ch}\; ax\,dx = -\frac{2x\; \text{ch}\; ax}{a^2} + \left(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3}\right) \text{sh}\; ax+C\,
\int \text{th}\; ax\,dx = \frac{\ln|\text{ch}\; ax|}{a}+C\,
\int \text{cth}\; ax\,dx = \frac{\ln|\text{sh}\; ax|}{a}+C\,
\int \text{th}^n ax\,dx = -\frac{\text{th}^{n-1} ax}{a(n-1)}+\int\text{th}^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,
\int \text{cth}^n ax\,dx = -\frac{\text{cth}^{n-1} ax}{a(n-1)}+\int\text{cth}^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,
\int \text{sh}\; ax\; \text{sh}\; bx\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} (a\; \text{sh}\; bx\; \text{ch}\; ax - b\;\text{ch}\; bx\; \text{sh}\; ax)+C \qquad ( для  a^2\neq b^2)\,
\int \text{ch}\; ax\; \text{ch}\; bx\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} (a\; \text{sh}\; ax\; \text{ch}\; bx - b\;\text{sh}\; bx\; \text{ch}\; ax)+C \qquad ( для  a^2\neq b^2)\,
\int \text{ch}\; ax\; \text{sh}\; bx\,dx = \frac{1}{a^2-b^2} (a\; \text{sh}\; ax\; \text{sh}\; bx - b\;\text{ch}\; ax\; \text{ch}\; bx)+C \qquad ( для  a^2\neq b^2)\,
\int \text{sh} (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\cos(cx+d)+C\,
\int \text{sh} (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\sin(cx+d)+C\,
\int \text{ch} (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\cos(cx+d)+C\,
\int \text{ch} (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\sin(cx+d)+C\,

Джерела[ред.ред. код]

  • Двайт Г. Б. Гиперболичесике функции — интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / Пер. с англ. Н. В. Леви, под ред. К. А. Семендяева. — М.: Наука, 1978. — С. 134-140. (рос.)