Інтеграл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою

Інтеграл — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса тощо.

Інтеграл Рімана[ред.ред. код]

Докладніше: Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана — найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної  f(x) , визначеній на відрізку [a, b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки [x_i, x_{i+1}] інтегральна сума визнається як

\sigma _x  = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }

де  x_i \le \xi_i \le x_{i+1}   — будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відрізку [x_i, x_{i+1}] до нуля, то функція  f(x) називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку [a,b] і позначається

 I = \int_a^b f(x)dx .

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

Головна теорема інтегрального числення[ред.ред. код]

Якщо у функції  f(x) на відрізку [a,b] існує первісна  F(x) , то

 I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]