Таблиця інтегралів

Інтегрування є одною з двох основних операцій математичного аналізу. Тоді як диференціювання має прості правила, за якими можна знайти похідну складних функцій через диференціювання її складових функцій, для інтегралів це не так, і тому таблиці відомих первісних виявляються часто дуже корисними. На цій сторінці представлено список основних первісних.

C вживається як довільна константа інтегрування, яку можна визначити якщо відомо значення інтеграла в якій-небудь точці.

Правила інтегрування функцій

$\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx$

$\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C$

Інтеграли простих функцій

Раціональні функції

$\int \,dx = x + C$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,$ якщо $n \ne -1$

$\int \frac{dx}{x}\,= \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

$\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C$

Логарифмічні функції

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

Показникові функції

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Ірраціональні функції

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C$

$\int {dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|x| \over a} + C$

$\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2+a}}\right| + C$

Тригонометричні функції

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = - \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C$

$\int\!{dx \over \sin^2 x} = - \operatorname{ctg}\,x + C$

Обернені тригонометричні функції

$\int \arcsin{x} \, dx = x \, \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C$

$\int \arccos{x} \, dx = x \, \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

$\int \arcsec{x} \, dx = x \, \arcsec{x} + \frac{\sqrt{x^2 - 1}\ln{(x + \sqrt{x^2-1})}}{x \, \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} + C$

$\int \arccsc{x} \, dx = x \, \arccsc{x} + \frac{\sqrt{x^2 - 1}\ln{(x + \sqrt{x^2-1})}}{x \, \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} + C$

$\int \arccot{x} \, dx = x \, \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

Гіперболічні функції

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln |\cosh x| + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

$\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C$

Обернені гіперболічні функції

$\int \operatorname{arsinh}\, x \, dx = x\, \operatorname{arsinh}\, x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arcosh}\, x \, dx = x\, \operatorname{arcosh}\, x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{artanh}\, x \, dx = x\, \operatorname{artanh}\, x + \frac{1}{2}\ln{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arcsch}\,x \, dx = x\, \operatorname{arcsch}\, x+ \ln{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arsech}\,x \, dx = x\, \operatorname{arsech}\, x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arcoth}\,x \, dx = x\, \operatorname{arcoth}\, x+ \frac{1}{2}\ln{(x^2-1)} + C$

Композитні функції

$\int \cos ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( a\sin ax + b\cos ax \right) + C$

$\int \sin ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( b\sin ax - a\cos ax \right) + C$

$\int \cos ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( a\sin ax\, \cosh bx+ b\cos ax\, \sinh bx \right) + C$

$\int \sin ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( b\sin ax\, \sinh bx- a\cos ax\, \cosh bx \right) + C$

Функції абсолютних величин

$\int \left| (ax + b)^n \right|\,dx = {(ax + b)^{n+2} \over a(n+1) \left| ax + b \right|} + C \,\, [\,n\text{ is odd, and } n \neq -1\,]$

$\int \left| \sin{ax} \right|\,dx = {-1 \over a} \left| \sin{ax} \right| \cot{ax} + C$

$\int \left| \cos{ax} \right|\,dx = {1 \over a} \left| \cos{ax} \right| \tan{ax} + C$

$\int \left| \tan{ax} \right|\,dx = {\tan(ax)[-\ln\left|\cos{ax}\right|] \over a \left| \tan{ax} \right|} + C$

$\int \left| \csc{ax} \right|\,dx = {-\ln \left| \csc{ax} + \cot{ax} \right|\sin{ax} \over a \left| \sin{ax} \right|} + C$

$\int \left| \sec{ax} \right|\,dx = {\ln \left| \sec{ax} + \tan{ax} \right| \cos{ax} \over a \left| \cos{ax} \right|} + C$

$\int \left| \cot{ax} \right|\,dx = {\tan(ax)[\ln\left|\sin{ax}\right|] \over a \left| \tan{ax} \right|} + C$

Спеціальні функції

$\int \operatorname{Ci}(x) dx = x\,\operatorname{Ci}(x) - \sin x$

$\int \operatorname{Si}(x) dx = x\,\operatorname{Si}(x) + \cos x$

$\int \operatorname{Ei}(x) dx = x\,\operatorname{Ei}(x) - e^x$

$\int \operatorname{li}(x)dx = x\, \operatorname{li}(x)-\operatorname{Ei}(2 \ln x)$

$\int \frac{\operatorname{li}(x)}{x}\,dx = \ln x\, \operatorname{li}(x) -x$

$\int \operatorname{erf}(x)\, dx = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x\, \text{erf}(x)$

Визначені інтеграли без явних первісних

Деякі функції, чиї первісні не можуть бути представлені явно, тим не менш їхні деякі визначені інтеграли можуть бути обчислені. Тут перелічені деякі популярні інтеграли

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (дивись також Гамма-функція)

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (Гаусовий інтеграл)

$\int_0^\infty{x e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{1}{2a^2}$

$\int_0^\infty{x^2 e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{\sqrt \pi}{4a^3}$, де $a>0\!$

$\int_0^\infty{x^{2i+1} e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{a!}{2a^{2i+2}}$, де $a>0;\;\;\! i=1,2,3 ...$

$\int_0^\infty{x^{2i} e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{1*3*5*...*(2i-1)}{2^{i+1} a^{2i+1}}\sqrt \pi$, де $a>0;\;\;\! i=1,2,3 ...$

$\int_0^\infty{x^n e^{-a^2x^2}\,dx} = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2a^{n+1}}$, де $a>0\!$; (дивись також Гамма-функція)

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$ (дивись також числа Бернуллі)

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty{\frac{1}{e^{ax}+1}\,dx} = \frac{\ln{2}}{a}$ де $a>0\!$

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^{ax}+1}\,dx} = \frac{\pi^2}{12a^2}$ де $a>0\!$

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^{ax}+1}\,dx} = \frac{7}{120}\frac{\pi^4}{a^4}$ де $a>0\!$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}$ (якщо n парне число і $\scriptstyle{n \ge 2}$)

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}$ (якщо $\scriptstyle{n}$ непарне число і $\scriptstyle{n \ge 3}$)

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x)\cos^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc} \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & |\alpha|= |\beta (2m-n)| \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{array} \right .$ (для цілих $\scriptstyle \alpha, \beta, m, n$ з $\scriptstyle \beta \neq 0$ і $\scriptstyle m, n \geq 0$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \cos^n(\beta x) dx = 0$ (для дійсних $\scriptstyle \alpha,\beta$ і невід'ємного цілого $\scriptstyle n$, дивись також Симетрія)

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc} (-1)^{(n+1)/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ odd},\ \alpha = \beta (2m-n) \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{array} \right .$ (для цілих $\scriptstyle \alpha, \beta, m, n$ з $\scriptstyle \beta \neq 0$ і $\scriptstyle m, n \geq 0$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc} (-1)^{n/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ even},\ |\alpha| = |\beta (2m-n)| \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{array} \right .$ (для цілих $\scriptstyle \alpha, \beta, m, n$ з $\scriptstyle \beta \neq 0\!$ та $\scriptstyle m,n \geq 0\!$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

$\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ (де $\Gamma(z)\!$ Гамма-функція)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (де $\exp[u]\!$ експонента $e^u$, і $a>0\!$)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ (де $I_{0}(x)\!$ модифікована Функція Бесселя першого роду)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$

$\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,$, $\nu > 0\,$,  стосується функції густини ймовірності для T-розподілу Стьюдента

Для загального випадку, якщо первісної не існує, застосовується метод вичерпання:

$\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} ).$

$\int_0^1 [\ln(1/x)]^p\,dx = p!$

Випадково знайдені тотожності

$\begin{align} \int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} &&(= 1.29128599706266\dots)\\ \int_0^1 x^x \,dx &= -\sum_{n=1}^\infty (-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots) \end{align}$

Обчислені Йоганном Бернуллі.

Дивись також

• Методи інтегрування
• Таблиця похідних