Тест Левене

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Певні загальні статистичні процедури базуються на припущенні, що дисперсії розподілів з яких ґенеровано різні вибірки рівні. Тест Левене[1] — це статистика, яку використовують для оцінювання рівності дисперсій декількох вибірок. Він перевіряє нульову гіпотезу про рівність дисперсій вибірок (гомогенність дисперсії, або гомоскедастичність). Якщо p-значення тесту Левене менше певного критичного значення (зазвичай 0.05 або 0.01), то наявну різницю дисперсій вважають статистично значущою. Тому нульову гіпотезу про рівність дисперсій всіх вибірок відкидають і роблять висновок, що їх дисперсії є різними.

До процедур, що вимагають припущення про гомогенність дисперсії належать дисперсійний аналіз та t-критерій. Однією з переваг тесту Левене є те, що цей тест не вимагає нормального розподілу досліджуваних вибірок.

Тест часто використовується перед порівнянням математичних сподівань.

Формальна специфікація[ред.ред. код]

Тест Левене використовують для перевірки нульової гіпотези H_0 проти альтернативної гіпотези H_1[2].

H_0:\ \ \sigma_1=\sigma_2=\dots=\sigma_k\ \ \ vs\ \ \ H_1: \sigma_i\ne\sigma_j принаймні для однієї пари (i,\ j).

Тестова статистика визначена наступним чином:

W = \frac{(N-k)}{(k-1)} \frac{\sum_{i=1}^k N_i (Z_{i\cdot}-Z_{\cdot\cdot})^2} {\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{N_i} (Z_{ij}-Z_{i\cdot})^2},

де

  • W — значення Статистики,
  • k — кількість різних груп до яких належать вибірки,
  • N — загальна кількість спостережень,
  • N_i — кількість спостережень в i-ій групі,
  • Y_{ij} — значення j-го спостереження i-ої групи,
  • Z_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
|Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot}| \\ 
|Y_{ij} - \tilde{Y}_{i\cdot}| \end{matrix}\right.

Тут \bar{Y}_{i\cdot} - математичне сподівання i-ої групи, а \tilde{Y}_{i\cdot} - медіана i-ої групи. (Обидва означення використовуються, хоча друге означення насправді Тест Брауна-Форсі)

  • Z_{\cdot\cdot} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{N_i} Z_{ij} математичне сподівання всіх Z_{ij},
  • Z_{i\cdot} = \frac{1}{N_i} \sum_{j=1}^{N_i} Z_{ij} математичне сподівання Z_{ij} для групи з номером i.

Значимість статистики W тестують використовуючи F(\alpha,k-1,N-k) (квантиль рівня  \alpha розподілу Фішера), де F — квантиль розподілу фішера, з k-1 і N-k ступенями свободи, \alpha — обраний рівень надійності тесту (зазвичай 0.05 чи 0.01).

Джерела[ред.ред. код]

  1. Levene, Howard (1960). «Robust tests for equality of variances». У Інґрам Олкін, Гарольд Хотелінґ та інші. Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford University Press. с. 278–292. (англ.)
  2. «Engeneering Statistics Textbook - Levene Test for Equality of Variances». NIST-Sematech. Архів оригіналу за 2013-07-13. Процитовано 2011-04-08. (англ.)