Розподіл Фішера

Розподіл Фішера

Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$d_1>0,\ d_2>0$ ступені свободи
Носій функції	$x \in [0, +\infty)\!$
Розподіл ймовірностей	$\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!$
Середнє	$\frac{d_2}{d_2-2}\!$ для $d_2 > 2$
Медіана
Мода	$\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!$ для $d_1 > 2$
Дисперсія	$\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!$ для $d_2 > 4$
Коефіцієнт асиметрії	$\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!$ для $d_2 > 6$
Коефіцієнт ексцесу	див. текст
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)	не існує, raw moments defined elsewhere
Характеристична функція	див. текст

Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Визначення

Нехай $Y_1,Y_2$ — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат: $Y_i \sim \chi^2(d_i)$, де $d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2$. Тоді розподіл випадкової величини

$F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2}$,

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи $d_1$ і $d_2$. Пишуть $F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$.

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами $d_1, d_2\ (F(d_1, d_2))$ задається формулою:

$f(x) = \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} =\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} x^{\frac{d_1}{2} - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}} \!$

для дійсного числа $x\ge 0$, тут d₁ та d₂ цілі додатні числа, а B — Бета функція.

Моменти

Математичне чекання і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

$\mathbb{M}[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2}$, якщо $d_2 > 2$,

$\mathrm{D}[F] = \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!$, якщо $d_2 > 4$.

Властивості розподілу Фішера

• Якщо $F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$, те

$\frac{1}{F} \sim \mathrm{F}(d_2, d_1)$.

• Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо $F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$, те

$F_{d_1,d_2} \to \delta(x-1)$ по розподілі при $d_1,d_2 \to \infty$,

де $\delta(x-1)$ — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи $X \equiv 1$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо $F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$, те випадкові величини $d_1 F_{d_1,d_2}$ збінаються по розподілу до $\chi^2(d_1)$ при $d_2 \to \infty$.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат