Розподіл Фішера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розподіл Фішера

F distributionPDF.png
Функція розподілу ймовірностей
F distributionCDF.png
Параметри d_1>0,\ d_2>0 ступені свободи
Носій функції x \in [0, +\infty)\!
Розподіл ймовірностей \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!
Функція розподілу ймовірностей (cdf) I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!
Середнє \frac{d_2}{d_2-2}\! для d_2 > 2
Медіана
Мода \frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\! для d_1 > 2
Дисперсія \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\! для d_2 > 4
Коефіцієнт асиметрії \frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!
для d_2 > 6
Коефіцієнт ексцесу див. текст
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf) не існує, raw moments defined elsewhere[1][2]
Характеристична функція див. текст

Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Визначення[ред.ред. код]

Нехай Y_1,Y_2 — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат: Y_i \sim \chi^2(d_i), де d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2. Тоді розподіл випадкової величини

F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2},

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи d_1 і d_2. Пишуть F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2).

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами d_1, d_2\  (F(d_1, d_2)) задається формулою:

f(x) = \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}
=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}
\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}}
x^{\frac{d_1}{2} - 1}
\left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}
\!

для дійсного числа x\ge 0, тут d1 та d2 цілі додатні числа, а B — Бета функція.

Моменти[ред.ред. код]

Математичне чекання і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

\mathbb{M}[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2}, якщо d_2 > 2,
\mathrm{D}[F] = \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!, якщо d_2 > 4.

Властивості розподілу Фішера[ред.ред. код]

  • Якщо F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2), те
\frac{1}{F} \sim \mathrm{F}(d_2, d_1).
  • Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2), те
F_{d_1,d_2} \to \delta(x-1) по розподілі при d_1,d_2 \to \infty,

де \delta(x-1) — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи X \equiv 1.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

  • Якщо F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2), те випадкові величини d_1 F_{d_1,d_2} збінаються по розподілу до \chi^2(d_1) при d_2 \to \infty.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  1. Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0. (англ.)
  2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., редs. (1965), «Chapter», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, MR0167642, ISBN 978-0486612720, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_.htm  (англ.)
Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний