Тест другої похідної

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тест другої похідної — критерій для визначення коли критична точка дійсно значимої функції від однієї змінної є локальним максимумом чи мінімумом через використання другої похідної в точці.

Твердження: if the functi f двічі диференційовна в критичній точці x (тобто f'(x) = 0), тоді:

  • Якщо \ f^{\prime\prime}(x) < 0 тоді \ f має локальний максимум у \ x.
  • Якщо \ f^{\prime\prime}(x) > 0 тоді \ f має локальний мінімум у \ x.
  • Якщо \ f^{\prime\prime}(x) = 0, тест непереконливий.

В останньому випадку, щоб визначити поведінку функції f поблизу x через вищі похідні можна використати теорему Тейлора

Доведення[ред.ред. код]

Припустимо ми маємо f''(x) > 0 (доведення для f''(x) < 0 аналогічне). Згідно до умови, f'(x) = 0. Тоді

0 < f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)}{h}.

Отже, для достатньо малого h маємо

\frac{f'(x+h)}{h} > 0

що значить f'(x+h) < 0 якщо h < 0 (інтуїтивно, f спадає по тому як наближається до x з ліва), і f'(x+h) > 0 if h > 0 (інтуїтивно, f зростає як ми йдемо праворуч від x). Тепер з теореми Ферма, f має локальний мінімум у x.

Тест угнутості[ред.ред. код]

Споріднене, але відмінне використання другої похідної полягає у визначені чи функція опукла або угнута в точці. Однак вона не надає інформації про точки перегину. Конкретно, двічі диференційовна функція f є опуклою якщо \ f''(x) > 0 і угнутою якщо \ f''(x) < 0. Зауважте, що якщо \ f(x) = x^4 - x, тоді \ x=0 має нульову другу похідну і не є при цьому точкою перегину, тобто друга похідна не забезпечує нас достатньою інформацією для визначення чи є точка перегином.

Посилання[ред.ред. код]