3-сфера

Стереографічні проєкції паралелей гіперсфери (червона), меридіанів (синій) і гіпермерідіанів (зелений). У зв'язку з конформними властивостями стереографічної проєкції криві перетинаються одна з одною ортогонально (у жовтих точках), як в 4D. Всі криві є колами: криві, які перетинаються <0,0,0,1> мають нескінченний радіус (тобто є прямими).

3-сфера — багатовимірний аналог сфери. Складається з множини точок, рівновіддалених від фіксованої центральної точки в чотиривимірному евклідовому просторі. Так само, як звичайна сфера (або 2-сфера) з двовимірною поверхнею, яка є границею кулі в трьох вимірах, 3-сфера є об'єктом з трьома вимірами, являючи собою форму границі кулі в чотирьох вимірах.

3-сфера також називається «гломусом» або «гіперсферою», хоча термін «гіперсфера» може в загальному випадку позначати будь-яку n-сферу для n ≥ 3.

Означення (координатне)

У координатах, 3-сфера з центром (C₀, C₁, C₂, C₃) та радіусом r є множиною всіх точок (x₀, x₁, x₂, x₃) у дійсному, 4-вимірному просторі (R⁴) таких що

$\sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.$

$S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.$

Часто корисно розглядати R⁴ як простір двох комплексних змінних (C²) або кватерніонів (H).

Посилання

• Weisstein, Eric W. Hypersphere(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. Примітка: У даній статті використовуються альтернативні схеми іменування для сфер, в яких сфера в N-вимірному просторі називається N-сферою.(англ.)