Кватерніони

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кватерніо́н  — гіперкомплексне число, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Вперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Кватерніон має вигляд a + bi + cj + dk, \, де

a,b,c,d\,  — дійсні числа;

i,j,k\,  — уявні одиниці, що задовольняють співвідношенням

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, \! з яких випливають ще й такі співвідношення: \begin{matrix}
ij & = & -ji & = & k, \\
jk & = & -kj & = & i, \\
ki & = & -ik & = & j. 
\end{matrix}

Часто замість i,j,k \, використовують позначення для уявних одиниць відповідно i_1,i_2,i_3, \, а також покладають i_0:=1. \,

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень: e_0,e_1,e_2,e_3. \,

Кватерніони також можна визначити через комплексні числа, використовуючи процедуру подвоєння Келі-Діксона.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Для кватерніона \,q=a+bi+cj+dk,
дійсне число \ a називається скалярною частиною кватерніона,  \vec{v} = bi+cj+dk \,  — його векторною частиною.
Якщо \vec{v}=0, то кватерніон називаєтся чисто скалярним, при \,a=0чисто векторним.
  • \overline{q_1 q_2} = \bar{q_2} \, \bar{q_1}
  • Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначається як |q|=\sqrt{q\bar{q}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.
  • q^{-1}= \frac{\bar{q}}{|q|^2}

Якщо \,|q|=1, то \,q називається одиничним кватерніоном. Легко перевірити, що |p \cdot q|=|p| \cdot |q|, тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; з цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Алгебраїчні властивості[ред.ред. код]

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, неважко отримати такі властивості:

З некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається \mathbb H. Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Векторне представлення[ред.ред. код]

Кватерніон \ \mathbf{q} = a + bi + cj + dk можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

\ \mathbf{q} = (s, \vec{v}), \quad s=a, \quad \vec{v} = (b,c,d).

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

\ \mathbf{q_1 q_2} = (s_1, \vec{v_1})(s_2, \vec{v_2})
= (s_1 s_2 - \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}, \;\; s_1\vec{v_2} + s_2\vec{v_1} + \vec{v_1}\times\vec{v_2}).

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

\ (0, \vec{v_1})(0, \vec{v_2}) = ( - \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}, \;\; \vec{v_1}\times\vec{v_2}).

Матричне представлення[ред.ред. код]

Кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}

Піднесення до степеня[ред.ред. код]

Рівність

e^{\vec{v} \varphi} = \cos \varphi + \vec{v}\cdot\sin \varphi

доводиться подібно до формули Ейлера співставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон в векторній (тригонометричній) формі

q = |q|(\cos \varphi + \vec{v}\cdot\sin \varphi) = |q| e^{\vec{v} \varphi}, \qquad |\vec{v}|=1.
  • Натуральний степінь:
q^2 = |q|^2(\cos^2 \varphi  -\sin^2 \varphi + 2 \vec{v} \cos \varphi \sin \varphi) = |q|^2(\cos 2 \varphi  + \vec{v} \sin 2 \varphi).

Використавши математичну індукцію отримаємо:

q^n = |q|^n (\cos n \varphi  + \vec{v} \sin n \varphi), \qquad n \in \N.
  • Дійсний степінь:
\ln(q) = \ln(|q| e^{\vec{v} \varphi}) = \ln|q| + \vec{v} \varphi.
q^a = \left( e^{\ln(q)} \right) ^a = \left( e^{\ln|q| + \vec{v} \varphi} \right) ^a = \left( |q| e^{\vec{v} \varphi} \right) ^a = 
 |q|^a \, e^{\vec{v} \varphi \cdot a} = |q|^a (\cos a \varphi  + \vec{v} \sin a \varphi).

Піднесення кватерніона до дійсного степеня використовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Кватерніони і повороти простору[ред.ред. код]

Докладніше у статті Кватерніони і повороти простору

Комплексні кватерніони[ред.ред. код]

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що a,\, b,\, c,\, d\, — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця i\, не ототожнюється з кватерніонною одиницею i,\, так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, з використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

Джерела[ред.ред. код]

  • Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність