Кватерніони

Кватерніо́н  — гіперкомплексне число, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Вперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Кватерніон має вигляд $a + bi + cj + dk, \,$ де

$a,b,c,d\,$  — дійсні числа;

$i,j,k\,$  — уявні одиниці, що задовольняють співвідношенням

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, \!$ з яких випливають ще й такі співвідношення: $\begin{matrix} ij & = & -ji & = & k, \\ jk & = & -kj & = & i, \\ ki & = & -ik & = & j. \end{matrix}$

Часто замість $i,j,k \,$ використовують позначення для уявних одиниць відповідно $i_1,i_2,i_3, \,$ а також покладають $i_0:=1. \,$

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень: $e_0,e_1,e_2,e_3. \,$

Кватерніони також можна визначити через комплексні числа, використовуючи процедуру подвоєння Келі-Діксона.

Пов'язані означення

• Для кватерніона $\,q=a+bi+cj+dk$,

дійсне число $\ a$ називається скалярною частиною кватерніона, $\vec{v} = bi+cj+dk \,$  — його векторною частиною.

Якщо $\vec{v}=0$, то кватерніон називаєтся чисто скалярним, при $\,a=0$ — чисто векторним.

• Кватерніон $\bar{q}=a-bi-cj-dk$ називається спряженим до $\,q$.

• $\overline{q_1 q_2} = \bar{q_2} \, \bar{q_1}$

• Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначається як $|q|=\sqrt{q\bar{q}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.$

• $q^{-1}= \frac{\bar{q}}{|q|^2}$

Якщо $\,|q|=1,$ то $\,q$ називається одиничним кватерніоном. Легко перевірити, що $|p \cdot q|=|p| \cdot |q|$, тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; з цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Алгебраїчні властивості

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, неважко отримати такі властивості:

• додавання кватеріонів є асоціативним та комутативним,
• множення кватерніонів є асоціативним, але не є комутативним.

З некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається $\mathbb H$. Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Векторне представлення

Кватерніон $\ \mathbf{q} = a + bi + cj + dk$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

$\ \mathbf{q} = (s, \vec{v}), \quad s=a, \quad \vec{v} = (b,c,d)$.

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

$\ \mathbf{q_1 q_2} = (s_1, \vec{v_1})(s_2, \vec{v_2}) = (s_1 s_2 - \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}, \;\; s_1\vec{v_2} + s_2\vec{v_1} + \vec{v_1}\times\vec{v_2}).$

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

$\ (0, \vec{v_1})(0, \vec{v_2}) = ( - \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}, \;\; \vec{v_1}\times\vec{v_2}).$

Матричне представлення

Кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

$\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}$

Піднесення до степеня

Рівність

$e^{\vec{v} \varphi} = \cos \varphi + \vec{v}\cdot\sin \varphi$

доводиться подібно до формули Ейлера співставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон в векторній (тригонометричній) формі

$q = |q|(\cos \varphi + \vec{v}\cdot\sin \varphi) = |q| e^{\vec{v} \varphi}, \qquad |\vec{v}|=1.$

• Натуральний степінь:

$q^2 = |q|^2(\cos^2 \varphi -\sin^2 \varphi + 2 \vec{v} \cos \varphi \sin \varphi) = |q|^2(\cos 2 \varphi + \vec{v} \sin 2 \varphi).$

Використавши математичну індукцію отримаємо:

$q^n = |q|^n (\cos n \varphi + \vec{v} \sin n \varphi), \qquad n \in \N.$

• Дійсний степінь:

$\ln(q) = \ln(|q| e^{\vec{v} \varphi}) = \ln|q| + \vec{v} \varphi.$

$q^a = \left( e^{\ln(q)} \right) ^a = \left( e^{\ln|q| + \vec{v} \varphi} \right) ^a = \left( |q| e^{\vec{v} \varphi} \right) ^a = |q|^a \, e^{\vec{v} \varphi \cdot a} = |q|^a (\cos a \varphi + \vec{v} \sin a \varphi).$

Піднесення кватерніона до дійсного степеня використовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Кватерніони і повороти простору

Докладніше у статті Кватерніони і повороти простору

Комплексні кватерніони

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що $a,\,$ $b,\,$ $c,\,$ $d\,$  — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця $i\,$ не ототожнюється з кватерніонною одиницею $i,\,$ так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, з використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

Джерела

• Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.