Сфера

Сфе́ра (гр. σφαῖρα) - замкнута поверхня, геометричне місце точок рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери.

Рівняння

У аналітичній геометрії сфері з координатами О(x₀, y₀, z₀) і радіусом r є геометричним місцем усіх точок (x, y, z), що

$(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2. \,$

У сферичній системі координат будь-яку точку сфери можна подати як

$x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi$

$y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi, 0 < \theta \leq \pi ) \,$

$z = z_0 + r \cos \theta \,$

Сфера довільного радіусу з центром у початку координат задається диференціальним рівнянням:

$x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.$

Це рівняння відображає факт, що вектори швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно ортогональні один до одного.

Тензор Річчі та скалярна кривина сфери

Геометрію сфери можна просто описати, представивши її вкладеною в фіктивний чотиривимірний простір:

$\ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = R^{2},\quad dl^{2} = dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} + dx_{4}^{2} \qquad (1)$.

Введенням координат

$\ x_{1} = Rcos(\psi ), \quad x_{2} = Rcos(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ), \quad x_{3} = Rsin(\varphi )sin(\psi )sin (\theta ), x_{4} = Rcos(\theta )sin(\psi )$

можна задовольнити $\ (1)$, а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

$\ dl^{2} = R^{2}(d\psi^{2} + sin^{2}(\psi )(d\theta^{2} + sin^{2}(\theta )d\varphi^{2})) \qquad (2)$.

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій - від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, в деякій мірі, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

$\ \Gamma^{k}_{jl} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{jl})$,

де метричний тензор $\ g_{lj}$ має вигляд

$\ g_{lj} = diag(R^{2}, R^{2}sin^{2}(\psi ), R^{2}sin^{2}(\psi )sin^{2}(\theta )), \quad g^{lj} = diag(R^{-2}, R^{-2}sin^{-2}(\psi ), R^{-2} sin^{-2}(\psi )sin^{-2}(\theta )) \qquad (3)$,

для частинних випадків виразів можна отримати

$\ \Gamma^{k}_{ll} = \frac{1}{2}g^{km}(2 \partial_{l}g_{ml} - \partial_{m}g_{ll} ) = g^{km}\partial_{l}g_{ml} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} = -\frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} \qquad (4)$;

$\ \Gamma^{k}_{kk} = \frac{1}{2}g^{km}(2\partial_{k}g_{km} - \partial_{m}g_{kk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{kk} = 0 \qquad (5)$;

оскільки, в силу структури метричних тензорів, $\ \partial_{0}g_{00} = \partial_{h}g_{hh} = 0$;

$\ \Gamma^{k}_{lk} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mk} + \partial_{k}g_{ml} - \partial_{m}g_{lk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk} \qquad (6)$;

$\ {\Gamma^{k}_{lj}}^{(3)} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{lj}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk}\delta_{kj} + \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{j}g_{kk}\delta_{kl} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{jl}\delta_{jl} = \Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} \qquad (7)$.

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензору Річчі: маючи загальне визначення,

$\ R_{lj}^{(3)} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{jl} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jl}\Gamma^{\sigma}_{k \sigma } - \Gamma^{k}_{l \sigma}\Gamma^{\sigma}_{jk} \qquad (8)$,

та вирази $\ (4)-(7)$,

для тензора можна отримати (сума лише по індексам $\ k, \sigma$)

$\ R_{lj}^{(3)} = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{k}_{lk}\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{jl}\Gamma^{j}_{lj} - 2\Gamma^{l}_{kj}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj} \qquad (9)$.

Доведення.

Дійсно, використовуючи вирази $\ (4)-(7)$, для доданків $\ (8)$ можна отримати наступні вирази.

Перший доданок:

$\ \partial_{k}\Gamma^{k}_{jl} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j}$.

Другий доданок залишається без змін.

Третій доданок:

$\ \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{jl} = \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{jj}\delta^{j}_{l} = \Gamma^{\sigma}_{j \sigma}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{\sigma}_{l \sigma }\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma }\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j}$.

Четвертий доданок:

$\ -\Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{l \sigma} = -\Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{\sigma} - \Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{\sigma k}\delta^{k}_{l} - \Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{\sigma} = -\Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{\sigma}_{jl}\Gamma^{l}_{\sigma l} - \Gamma^{l}_{jk}\Gamma^{k}_{ll}$.

Для двох останніх доданків доведеться повторити цю ж саму процедуру:

$\ - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{jl} = -\Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{j \sigma}\delta^{\sigma}_{l} - -\Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l \sigma}\delta^{\sigma}_{j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j} = -\Gamma^{l}_{l l}\Gamma^{l}_{j l} - \Gamma^{l}_{j l}\Gamma^{j}_{l j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j} = |(.8)| = - \Gamma^{l}_{j l}\Gamma^{j}_{l j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j}$,

$\ -\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{jk} = -\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{jl}\delta^{l}_{k} - \Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{jj}\delta^{j}_{k} = -\Gamma^{l}_{ll}\Gamma^{l}_{jl} - \Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj} = |(.8)| = -\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj}$.

Отже,

$\ \Gamma^{\sigma}_{jk}\Gamma^{k}_{l \sigma} = -\Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{j l}\Gamma^{j}_{l j} - \Gamma^{l}_{\sigma l}\Gamma^{\sigma}_{l l}\delta^{l}_{j} -\Gamma^{k}_{ll}\Gamma^{l}_{kl}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj}$.

Додавши вирази для всіх доданків та замінивши німий індекс $\ \sigma$ на $\ k$, можна отримати $\ (9)$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензору Річчі до метрики сферичного простору. Треба обчислити компоненти $\ R_{ij}$. Спочатку доведеться отримати, користуючись $\ (4)-(7)$, явний вигляд для символів Кристоффеля:

$\ \Gamma^{1}_{11} = \Gamma^{2}_{22} = \Gamma^{3}_{33} = \Gamma^{1}_{23} = \Gamma^{3}_{12} = \Gamma^{1}_{21} = \Gamma^{1}_{31} = \Gamma^{2}_{32} = \Gamma^{2}_{11} = \Gamma^{3}_{11} = 0$,

$\ \Gamma^{3}_{13} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{1}(g_{33}) = \frac{2sin (\psi )cos(\psi )}{2 sin^{2}(\psi )} = ctg(\psi ), \quad \Gamma^{2}_{12} = \Gamma^{3}_{13}$,

$\ \Gamma^{1}_{22} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{22}) = -sin(\psi )cos(\psi )$,

$\ \Gamma^{3}_{23} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{2}(g_{33}) = ctg(\theta )$,

$\ \Gamma^{1}_{33} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{33}) = -sin^{2}(\theta )sin(\psi )cos(\psi )$,

$\ \Gamma^{2}_{33} = -\frac{1}{2}g^{22}\partial_{2}(g_{33}) = -sin(\theta )cos(\theta )$.

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та $\ (9)$, має вираз

$\ R_{11} = -\partial_{1}\Gamma^{k}_{1k} - \Gamma^{k}_{1k}\Gamma^{k}_{1k} = -\partial_{1}(\Gamma^{2}_{12} + \Gamma^{3}_{13}) - (\Gamma^{2}_{12})^{2} - (\Gamma^{3}_{13})^{2} = -2\partial_{1}ctg(\psi ) - 2ctg^{2}(\psi ) = \frac{2}{sin^{2}(\psi )} - 2ctg^{2}(\psi ) = -2$.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попередній) дають

$\ R_{ij} = 2g_{ij}, i = j, \quad R_{ij} = 0, i \neq j$.

Отже, для сфери

$\ R_{ij} = \frac{2}{R^{2}}g_{ij} \qquad (10)$.

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для сфери скалярна кривина рівна

$\ R_{1} = \frac{2}{R^{2}}g_{ij}g^{ij} = \frac{6}{R^{2}}$.

Отже, сферичний простір - простір з постійною додатньою скалярною кривиною.

Формули

Площа поверхні	$S_O \, = \, 4 \pi r^2$
Замкнений об'єм	$V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3$
Площа сегмента	$V_\mathrm{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)$
Момент інерції	$J \, = \, \frac{2}{5} mr^2$

У сфери найменша площа поверхні з-поміж всіх тіл, що замикають даний об'єм, та найбільший замкнений об'єм при даній площі поверхні. З цієї причини, сфера часто з'являється у природі: краплі води в невагомості,планети, глобули і т.ін.