Сфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Сфера
Радіус r сфери

Сфе́ра (від грец. σφαῖρα — куля) — замкнута поверхня, геометричне місце точок рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери. Сфера є частковим випадком еліпсоїда, у якого всі три півосі однакові.

Властивості[ред.ред. код]

Відрізок, що сполучає центр сфери з її точкою, а також його довжина, називається радіусом; відрізок, що сполучає дві точки сфери — хордою; хорда, що проходить через центр сфери називається її діаметром. Сферу можна розглядати також як поверхню обертання півкола навколо його діаметра. Частина простору, яка обмежена сферою і містить її центр, називається кулею. Переріз сфери довільною площиною є коло. Воно називається великим, коли площина проходить через центр сфери, всі інші перерізи є малими колами.

У сфери найменша площа поверхні з-поміж всіх тіл, що замикають даний об'єм, та найбільший замкнений об'єм при даній площі поверхні. З цієї причини, сфера часто зустрічається у природі: краплі води в невагомості, планети, глобули і т.ін.

Площину (пряму), яка має зі сферою тільки одну спільну точку, називають дотичною площиною (прямою) до сфери. Якщо дві сфери мають тільки одну спільну точку, говорять, що вони дотикаються в цій точці.

Рівняння[ред.ред. код]

У аналітичній геометрії сфера у декартовій системі координат з координатами центру О(x0, y0, z0) і радіусом r є геометричним місцем усіх точок (x, y, z), що описується рівнянням:

(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2. \,

У сферичній системі координат будь-яку точку сфери можна подати як

 x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi
 y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leqslant \varphi < 2\pi,  0 \leqslant \theta \leqslant \pi ) \,
 z = z_0 + r \cos \theta \,

Сфера довільного радіусу з центром у початку координат задається диференціальним рівнянням:

 x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.

Це рівняння відображає факт, що вектори швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно ортогональні один до одного.

Тензор Річчі та скалярна кривина сфери[ред.ред. код]

Геометрію сфери можна просто описати, представивши її вкладеною в фіктивний чотиривимірний простір:

\ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = R^{2},\quad dl^{2} = dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} + dx_{4}^{2} \qquad (1).

Введенням координат

\ x_{1} = Rcos(\psi ), \quad x_{2} = Rcos(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ), \quad x_{3} = Rsin(\varphi )sin(\psi )sin (\theta ), x_{4} = Rcos(\theta )sin(\psi )

можна задовольнити \ (1), а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

\ dl^{2} = R^{2}(d\psi^{2} + sin^{2}(\psi )(d\theta^{2} + sin^{2}(\theta )d\varphi^{2})) \qquad (2).

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, в деякій мірі, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

\ \Gamma^{k}_{jl} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{jl}),

де метричний тензор \ g_{lj} має вигляд

\ g_{lj} = diag(R^{2}, R^{2}sin^{2}(\psi ), R^{2}sin^{2}(\psi )sin^{2}(\theta )), \quad g^{lj} = diag(R^{-2}, R^{-2}sin^{-2}(\psi ), R^{-2} sin^{-2}(\psi )sin^{-2}(\theta )) \qquad (3),

для частинних випадків виразів можна отримати

\ \Gamma^{k}_{ll} = \frac{1}{2}g^{km}(2 \partial_{l}g_{ml} - \partial_{m}g_{ll} ) = g^{km}\partial_{l}g_{ml} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} = -\frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} \qquad (4);

\ \Gamma^{k}_{kk} = \frac{1}{2}g^{km}(2\partial_{k}g_{km} - \partial_{m}g_{kk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{kk} = 0 \qquad (5);

оскільки, в силу структури метричних тензорів, \ \partial_{0}g_{00} = \partial_{h}g_{hh} = 0;

\ \Gamma^{k}_{lk} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mk} + \partial_{k}g_{ml} - \partial_{m}g_{lk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk} \qquad (6);

\ {\Gamma^{k}_{lj}}^{(3)} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{lj}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk}\delta_{kj} + \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{j}g_{kk}\delta_{kl} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{jl}\delta_{jl} = \Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} \qquad (7).

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензору Річчі: маючи загальне визначення,

\ R_{lj}^{(3)} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{jl} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jl}\Gamma^{\sigma}_{k \sigma } - \Gamma^{k}_{l \sigma}\Gamma^{\sigma}_{jk} \qquad (8),

та вирази \ (4)-(7),

для тензора можна отримати (сума лише по індексам \ k, \sigma)

\ R_{lj}^{(3)} = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{k}_{lk}\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{jl}\Gamma^{j}_{lj} - 2\Gamma^{l}_{kj}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj} \qquad (9).

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензору Річчі до метрики сферичного простору. Треба обчислити компоненти \ R_{ij}. Спочатку доведеться отримати, користуючись \ (4)-(7), явний вигляд для символів Кристоффеля:

\ \Gamma^{1}_{11} = \Gamma^{2}_{22} = \Gamma^{3}_{33} = \Gamma^{1}_{23} = \Gamma^{3}_{12} = \Gamma^{1}_{21} = \Gamma^{1}_{31} = \Gamma^{2}_{32} = \Gamma^{2}_{11} = \Gamma^{3}_{11} = 0,

\ \Gamma^{3}_{13} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{1}(g_{33}) = \frac{2sin (\psi )cos(\psi )}{2 sin^{2}(\psi )} = ctg(\psi ), \quad \Gamma^{2}_{12} = \Gamma^{3}_{13},

\ \Gamma^{1}_{22} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{22}) = -sin(\psi )cos(\psi ),

\ \Gamma^{3}_{23} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{2}(g_{33}) = ctg(\theta ),

\ \Gamma^{1}_{33} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{33}) = -sin^{2}(\theta )sin(\psi )cos(\psi ),

\ \Gamma^{2}_{33} = -\frac{1}{2}g^{22}\partial_{2}(g_{33}) = -sin(\theta )cos(\theta ) .

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та \ (9), має вираз

\ R_{11} = -\partial_{1}\Gamma^{k}_{1k} - \Gamma^{k}_{1k}\Gamma^{k}_{1k} = -\partial_{1}(\Gamma^{2}_{12} + \Gamma^{3}_{13}) - (\Gamma^{2}_{12})^{2} - (\Gamma^{3}_{13})^{2} = -2\partial_{1}ctg(\psi ) - 2ctg^{2}(\psi ) = \frac{2}{sin^{2}(\psi )} - 2ctg^{2}(\psi ) = -2.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попередній) дають

\ R_{ij} = 2g_{ij}, i = j, \quad R_{ij} = 0, i \neq j.

Отже, для сфери

\ R_{ij} = \frac{2}{R^{2}}g_{ij} \qquad (10).

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для сфери скалярна кривина рівна

\ R_{1} = \frac{2}{R^{2}}g_{ij}g^{ij} = \frac{6}{R^{2}}.

Отже, сферичний простір — простір з постійною додатньою скалярною кривиною.

Формули[ред.ред. код]

Площа поверхні S_O  \, = \, 4 \pi r^2
Замкнений об'єм V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3
Об'єм сегмента V_\mathrm{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)
Момент інерції J \, = \, \frac{2}{5} mr^2

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — 4-е. — М.: Наука, 1978. — 277 с.
  • Геометрія. 10-11 класи [Текст] : пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга-Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8