Бандар ас-Салама розпочав виступи на футбольних полях у 2019 році в складі клубу «Аль-Арабі», в якому грає протягом усієї своєї кар'єри гравця. У складі клубу в сезоні 2020—2021 років став чемпіоном Кувейту, а в 2021 році став у його складі володарем Суперкубка Кувейту.
У 2021 році Бандар ас-Салама дебютував у складі національної збірної Кувейту. У складі олімпійського варіанту збірної у 2022 році футболіст брав участь у футбольному турнірі Азійських ігор. У складі збірної на початок 2024 року провів 10 матчів, у яких забитими м'ячами не відзначився.