Друга теорема Вейєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дру́га теоре́ма Вейєрштрасса доводить досягнення неперервною функцією своїх точних меж. Вперше сформулював і довів німецький математик Карл Вейєрштрасс.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Якщо функція неперервна на проміжку , то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку знайдуться точки та такі, що , .

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо, що функція неперервна на проміжку досягає своєї точної верхньої межі (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжка . Тоді для всіх точок проміжка нерівність є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку скрізь додатну функцію

.

Так як знаменник не обертається в нуль та неперервний на проміжку , то за теоремою про неперевність частки неперервних функцій, функція також неперервна на проміжку . У цьому разі, згідно з першою теоремою Веєйрштрасса, функція обмежена на проміжку , тобто знайдеться таке додатне число , що для будь-якого з проміжка справедлива нерівність:

.

Її можна переписати (враховуючи що ) у такому вигляді:

.

Це співвідношення правильне для будь-яких точок з проміжку . Воно суперечить тому, що є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції на проміжку . Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.

Теорему доведено.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.