Неперервна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції, що можна записати так: коли Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Означення[ред.ред. код]

Приклад неперервної функції
Приклад розривної функції в точці . Функція не є неперервною зліва точки
проте є неперервною справа:
.

Функція дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного знайдеться таке (яке залежить від ), що з випливає Функція неперервна в області , якщо неперервна в кожній точці цієї області.


Нехай ,  — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці [ред.ред. код]

Функція f називається неперервною в точці якщо:

  1. функція f(x) визначена в точці x0.
  2. існує границя
  3. .

Означення неперервності в точці за Коші[ред.ред. код]

Функція f називається неперервною в точці якщо: , що =>

Означення неперервності в точці за Гейне[ред.ред. код]

Функція f називається неперервною в точці якщо: , якщо , то .

Точки розриву[ред.ред. код]

Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція терпить в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо —  значення функції в точці , то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з . Мовою околів умова розривності функції  в точці є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки  в області значень функції , що як би ми близько не підходили до точки в області визначення функції завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки .

Класифікація точок розриву в R¹ [ред.ред. код]

Класифікація розривів функцій залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції . Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

  • якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
  • якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Усувна точка розриву[ред.ред. код]

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: , то точка називається точкою усувного розриву функції (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію  у точці усувного розриву і покласти , то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Точка розриву «стрибок»[ред.ред. код]

Розрив «стрибок» виникає, якщо

.

Точка розриву «полюс»[ред.ред. код]

Розрив «полюс» виникає, якщо одинa з односторонніх границь нескінченнa.

або .

Точка суттєвого розриву[ред.ред. код]

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок в Rn, n>1[ред.ред. код]

Для функцій та немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

  • Якщо , то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
  • Полюс визначається як . В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що , яким шляхом б він не ріс.
  • Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

Властивості[ред.ред. код]

Локальні[ред.ред. код]

  • Функція, неперервна в точці , є обмеженою в деякій околиці цієї точки.
  • Якщо функція неперервна в точці і (або ), то (або ) для всіх, досить близьких до .
  • Якщо функції та неперервні в точці ,то функції та теж неперервні в точці .
  • Якщо функції та неперервні в точці і при цьому , то функція теж неперервна в точці .
  • Якщо функція неперервна в точці та функція неперервна в точці , то їх композиція неперервна в точці .

Глобальні[ред.ред. код]

  • Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині ), рівномірно неперервна на ньому.
  • Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), обмежена і досягає на ній своє максимальне і мінімальне значення.
  • Областю значень функції , неперервної на відрізку , є відрізок де мінімум і максимум беруться по відрізку .
  • Якщо функція неперервна на відрізку та то існує точка в якій .
  • Якщо функція неперервна на відрізку і число задовольняє нерівності або нерівності то існує точка у котрій .
  • Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна .
  • Монотонна функція на відрізку неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями та .
  • Якщо функції и неперервні на відрізку , причому та то існує точка в якій Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Приклади[ред.ред. код]

Елементарні функції[ред.ред. код]

Довільні многочлени , раціональні функції , показові функції , логарифми , тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція з усувним розривом[ред.ред. код]

Функція задається формулою

неперервна в будь-якій точці Точка є точкою усувного розриву, бо границя функції

Функція знака[ред.ред. код]

функція

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці .

Точка є точкою розриву першого роду , причому

, в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функція[ред.ред. код]

Ступінчаста функція, яка визначається як

є всюди неперервна, крім точки , де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення .

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення .

Функція Діріхле[ред.ред. код]

Докладніше: Функція Діріхле

функція

називається функцією Діріхле . По суті, функція Діріхле - це характеристична функція множини раціональних чисел . Ця функція є всюди розривної функцією , оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

Функція Рімана[ред.ред. код]

функція

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел (), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Рівномірна неперервність[ред.ред. код]

Функція називається рівномірно неперервної на , якщо для будь-якого існує таке, що для будь-яких двох точок і яких, що , виконується .

Кожна рівномірно неперервна на множині функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення - компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Напівнеперервна[ред.ред. код]

Існує дві симетричні одна до одної властивості - напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху :

  • функція напівнеперервна знизу в точці , якщо для будь-якого існує така околиця , що для будь-якого ;
  • функція називається напівнеперервна зверху в точці , якщо для будь-якого існує такий окіл точки , що для будь-якого .

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

  • якщо взяти функцію , неперервну в точці , і зменшити значення (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці ;
  • якщо взяти функцію , неперервну в точці , і збільшити значення на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці .

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

  • якщо , то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці ;
  • якщо ,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці .

Одностороння неперервність[ред.ред. код]

Функція називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння:

Неперервність майже всюди[ред.ред. код]

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція така, що вона неперервна всюди на , крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди .

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.