Задача Бюффона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Голка a перетинає пряму, а голка b — ні.

Задача Бюффона використовується для статистичного обчислення числа Пі. Її вигадав французький учений Бюффон 1777 року.

Задача[ред.ред. код]

Площина розграфлена паралельними прямими, які розташовані на відстані одна від одної. На площину навмання кидають голку завдовжки (). Знайти ймовірність того, що голка перетне одну з прямих.

Розв'язання[ред.ред. код]

Позначимо  — відстань від центру голки до найближчої прямої; через  — кут між голкою та прямою (проти годинникової стрілки). Упорядкована пара чисел з одного боку задає на площині точку, що належить прямокутнику . Тому кидання голки на площину рівносильне киданню голки в прямокутник . При цьому голка перетинається з прямою тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність . Тобто, якщо голка перетинається з прямою, то точка, що їй відповідає, потрапляє всередину фігури, що обмежена кривою та віссю . А оскільки точку кидають навмання, то ймовірність її потрапляння до цієї фігури обчислюється як геометрична ймовірність. Отже, шуканою ймовірністю є:

Обчислення числа Пі[ред.ред. код]

Уявімо що голка кинута на площину n разів, де n — досить велике, і при цьому вона m разів перетнула пряму. Якщо побудована модель адекватно описує експеримент, то при великих n частота числа перетинів має бути близькою до ймовірності, тобто має виконуватись співвідношення , звідки дістанемо:

Джерела[ред.ред. код]

  • В. М. Турчин (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі. (укр). Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7. 


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.