Користувач:Галактион/Логічна імплікація

Подстраница "Користувач:Галактион/Логiчна iмплiкацiя" создана для того, чтобы перенести информацию, которая дважды удалялась пользователем IP 77.123.142.6 из раздела "Обговорення" статьи "Логічна імплікація". Галактион 14:01, 4 березня 2010 (UTC)

Предварительные замечания

Импликацией называется сложноподчинённое предложение, которое образовано из двух предложений a и b с помощью математического союза $~\to$ и имеет вид a $~\to$ b.

Примеры импликаций

The dog bakrs. $~\to$ The cat mews. (The cat mews if the dog barks.)

1 < 2 $~\to$ 1 + 1 < 2 + 1 (One plus one is less than two plus one if one is less than two.)

H₂ + F₂ → 2HF $~\to$ H₂ + Cl₂ → 2HCl (One mole H₂ and one mole Cl₂ yield two moles HCl if one mole H₂ and one mole F₂ yield two moles HF)

Примечание

Обратите внимание на отличие союза $~\to$ от глагола → в предложении H₂ + F₂ → 2HF и предложении H₂ + Cl₂ → 2HCl.

Any gas is compressed. $~\to$ The pressure of the gas increases. (The pressure of any gas increases if the gas is compressed.)

The temperature is less than 0 °C. $~\to$ Water freezes. (Water freezes if the temperature is less than 0 °C.)

Birds of a feather flock together. $~\to$ Рыбак рыбака видит издалека. (Рыбак рыбака видит издалека if birds of feather flock together.)

4 < 5 $~\to$ 3AuF → 2Au + AuF₃ (Three moles AuF yield two moles Au and one mole AuF₃ if four is less than five.)

Примечание

Используя союз $~\to$, можно создавать импликации как из предложений одного языка (например, Английского языка либо языка моделирования химических процессов), так и из предложений разных языков (например, Английского и Русского языков).

Руководствуясь вышеприведёнными примерами можно придти к выводу, что импликация a $~\to$ b равносильна Английскому сложноподчинённому предложению "b if a.", Украинскому сложноподчинённому предложению "b, якщо a.", Русскому сложноподчинённому предложению "b, если a." и т. п. На самом деле, союз $~\to$ подобен союзам if, якщо, если и т. д., но не тождественнен этим союзам.

Примечания

1. Англоязычные логики:

– используют Английское слово if, чтобы озвучить союз $~\to$, но не отождествляют слово if с союзом $~\to$,

– используют Английское слово and, чтобы озвучить союз $~\land$, но не отождествляют слово and с союзом $~\land$,

– используют Английское слово or, чтобы озвучить союз $~\lor$, но не отождествляют слово or с союзом $~\lor$,

etc.

2. Поведение Англоязычных логиков аналогично поведению Русскоязычных переводчиков, которые:

– используют слово "Хэмингуэй", чтобы озвучить Английскую фамилию "Hemingway", но не отождествляют произношение слова "Хэмингуэй" с произношением фамилии "Hemingway",

– используют слово "Хэнкс", чтобы озвучить Английскую фамилию "Hanks", но не отождествляют произношение слова "Хэнкс" с произношением фамилии "Hanks",

и т. п.

3. Чтобы подчеркнуть отличие между Английскими словами if, and, or, ... и математическими союзами $~\to ,\land ,\lor ,...$, Англоязычные логики называют указанные слова "conjunctions", а указанные союзы "[logical] connectives".

4. Пример литературного произведения, в котором используется союз "если", который не является импликацией.

Я снежок в ладонях заласкаю.

Пусть вода сквозь пальцы потечёт.

По прохладным каплям загадаю,

Что мне будет: нечет или чёт.

Если нечет, то меня коснётся

Молодым своим крылом весна.

Если чёт, то, значит, не придётся

От капели мне сходить с ума.

Нечет, значит, буду я любима,

Радуга на небе вспыхнет вновь.

Ну а чёт – тогда промчится мимо

Недозрелой тучкою любовь.

Если нечет, гимном обручальным

Стану для певца я и творца.

Если чёт – мелодией печальной,

Песней без начала и конца.

Капельки в руке – какая малость,

Я веду мечтам прозрачным счёт.

Сколько в кулачке надежд осталось:

Нечет – чёт, и снова нечет – чёт.

Под ноги упали на дорогу

Вперемешку радость и беда.

И печаль уходит понемногу,

Как сквозь пальцы талая вода.

В импликации a $~\to$ b предложение a называется антецедентом (посылкой), а предложение b называется консеквентом (заключением)

Примеры

В импликации "The dog barks. $~\to$ The cat mews." предложение "The dog barks." – антецедент (посылка), а предложение "The cat mews." – консеквент (заключение).

В импликации "1 < 2 $~\to$ 1 + 1 < 2 + 1" предложение "1 < 2" – антецедент (посылка), а предложение "1 + 1 < 2 + 1" – консеквент (заключение).

В импликации "H₂ + F₂ → 2HF $~\to$ H₂ + Cl₂ → 2HCl" предложение "H₂ + F₂ → 2HF" – антецедент (посылка), а предложение "H₂ + Cl₂ → 2HCl" – консеквент (заключение).

В импликации "The temperature is less than 0 °C. $~\to$ Water freezes." предложение "The temperature is less than 0 °C." – антецедент (посылка), а предложение "Water freezes." – консеквент (заключение).

Антецедент импликации может быть идентичен её консеквенту. Иначе говоря, импликация может иметь вид a $~\to$ a.

Примеры

Мать встретила дочь. $~\to$ Мать встретила дочь. (Мать встретила дочь, если мать встретила дочь.)

Отец встретил сына. $~\to$ Отец встретил сына. (Отец встретил сына, если отец встретил сына.)

Пыль прикрывает ткань. $~\to$ Пыль прикрывает ткань. (Пыль прикрывает ткань, если пыль прикрывает ткань.)

Дерюга прикрывает корзину. $~\to$ Дерюга прикрывает корзину. (Дерюга прикрывает корзину, если дерюга прикрывает корзину.)

Примечания

1. В импликации a $~\to$ a предложение a может быть недвусмысленным. В частности, недвусмысленными предложениями являются предложение "Отец встретил сына." и предложение "Дерюга прикрывает корзину.".

2. В импликации a $~\to$ a предложение a может быть двусмысленным. В частности, двусмысленными являются предложение "Мать встретила дочь" и предложение "Пыль прикрывает ткань.".

3. В логике рассматриваются только недвусмысленные предложения.

4. Если предложение a недвусмысленно, тогда импликация a $~\to$ a является одной из простейших логических тавтологий (см. также раздел "Обговорення" статьи "Тавтологiя (логiка)").

Антецедент импликации может быть как простым предложением, так и сложным предложением.

Примеры импликаций, в которых антецедент является простым предложением

Adam loved Eve. $~\to$ Eve was loved. (Eve was loved if Adam loved Eve.)

Adam and Eve loved each other. $~\to$ Eve was loved by Adam. (Eve was loved by Adam if Adam and Eve loved each other.)

Peresvet and Chelubey killed each other. $~\to$ Chelubey was killed. (Chelubey was killed if Peresvet and Chelubey killed each other.)

Примеры импликаций, в которых антецедент является сложным предложением

Adam loved Eve, and Eve loved Adam. $~\to$ Eve was loved by Adam. (Eve was loved by Adam if Adam loved Eve, and Eve loved Adam.)

Cain killed Abel, and Abel killed Cain. $~\to$ Abel was killed. (Abel was killed if Cain killed Abel, and Abel killed Cain.)

1 < 2, and 2 < 3 $~\to$ 1 < 3 (One is less than three if one is less than two, and two is less than three.)

2C + O₂ → 2CO, and 2CO + O₂ → 2CO₂ $~\to$ 2C + 2O₂ → 2CO₂ (Two moles C and two moles O₂ yield two moles CO₂ if two moles C and one mole O₂ yield two moles CO, and two moles CO and one mole O₂ yield two moles CO₂.)

Консеквент импликации может быть как простым предложением, так и сложным предложением.

Пример импликации, в которой консеквент является простым предложением

Adam and Eve loved each other. $~\to$ Eve was loved. (Eve was loved if Adam and Eve loved each other.)

Примеры импликаций, в которых консеквент является сложным предложением

Adam and Eve loved each other. $~\to$ Adam was loved, and Eve was loved. (Adam was loved, and Eve was loved if Adam and Eve loved each other.)

2 < 5 $~\to$ 2 + 1 < 5 + 1, and 2 − 1 < 5 − 1 (Two plus one is less than five plus one, and two minus one is less than five minus one if two is less than five.)

Антецедент импликации и её консеквент могут быть сложными предложениями.

Примеры импликаций, в которых антецедент и консеквент являются сложными предложениями.

Ah hated Oh, but Oh loved Ah. $~\to$ Ah was loved, and Oh was hated. (Ah was loved, and Oh was hated if Ah hated Oh, but Oh loved Ah.)

1 < 2, and 2 < 5 $~\to$ 1 < 5, and 1² < 5² (One is less than five, and one squared is less than five squared if one is less than two, and two is less than five.)

Используя союз $~\to$, можно образовать импликацию a $~\to$ b из любых двух предложений a и b, включая:

предложения, которые не связаны по смыслу,

Примеры

Волга впадает в Каспийское море. $~\to$ Лошади едят сено. (Лошади едят сено, если Волга впадает в Каспийское море.)

Бузина растёт в огороде. $~\to$ Дядька живёт в Киеве. (Дядька живёт в Киеве, если бузина растёт в огороде.)

Мать встречает дочь. $~\to$ Пыль покрывает ткань. (Пыль покрывает ткань, если мать встречает дочь.)

предложения, которые слабо связаны по смыслу,

Примеры

Eve loved Adam. $~\to$ Eva Braun loved Adolf Hitler. (Eva Braun loved Adolf Hitler if Eve loved Adam.)

Отец встретил сына. $~\to$ Бельмондо встретил шимпанзе. (Бельмондо встретил шимпанзе, если отец встретил сына.)

Песок прикрывает ткань. $~\to$ Ткань прикрывает винтовку. (Ткань прикрывает винтовку, если песок прикрывает ткань.)

предложения, которые существенно связаны по смыслу.

Примеры

Adam and Eve loved each other. $~\to$ Adam was loved. (Adam was loved if Adam and Eve loved each other.)

2 < 3 $~\to$ 2² < 3² (Two squared is less than three squared if two is less than three.)

В связи с этим, возникает вопрос: можно ли определить достоверность импликации a $~\to$ b, которая образована из двух произвольных предложений a и b?

Определение валидности (достоверности) импликации

Если известны достоверности V_alidity(a) и V_alidity(b) предложений a и b, тогда достоверность V_alidity(a $~\to$ b) импликации a $~\to$ b можно определить по меньшей мере двумя споcобами.

1-й спосiб: Якщо 0 ≤ Vl(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vl(b) ≤ 1, тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − Vl(a, Vl(b), при цьому 0 ≤ Vl(a b) ≤ 1.

Приклади

Нехай Vl(a) = 0 i Vl(b) = 0. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 0, 0) = max(1, 0) = 1.

Нехай Vl(a) = 1 i Vl(b) = 0. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 1, 0) = max(0, 0) = 0.

Нехай Vl(a) = 0 i Vl(b) = 1. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 0, 1) = max(1, 1) = 1.

Нехай Vl(a) = 1 i Vl(b) = 1. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 1, 1) = max(0, 1) = 1.

Нехай Vl(a) = 1/8 i Vl(b) = 3/4. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 1/8, 3/4) = max(7/8, 3/4) = 7/8 = 0.875.

Нехай Vl(a) = 1/2 i Vl(b) = 1/2. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 1/2, 1/2) = max(1/2, 1/2) = 1/2 = 0.5.

Нехай Vl(a) = 1/4 i Vl(b) = 1/8. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 1/4, 1/8) = max(3/4, 1/8) = 3/4 = 0.75.

Нехай Vl(a) = 0 i 0 ≤ Vl(b) ≤ 1. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 0, Vl(b)) = max(1, Vl(b)) = 1.

Нехай Vl(b) = 1 i 0 ≤ Vl(a) ≤ 1. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − Vl(a), 1) = 1.

Нехай Vl(a) = 1 i 0 ≤ Vl(b) ≤ 1 . Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − 1, Vl(b)) = max(0, Vl(b)) = Vl(b) ≤ Vl(b).

Нехай Vl(b) = 0 i 0 ≤ Vl(a) ≤ 1. Тодi Vl(a $~\to$ b) = max(1 − Vl(a), 0) = 1 − Vl(a) ≤ 1 − Vl(a) = Vl(¬a).

Примiтки

max(1 − Vl(a), Vl(b)) = ( 1 + Vl(b) − Vl(a) + | Vl(a) + Vl(b) − 1 | ) / 2

max(1 − Vl(a), Vl(b) = max(Vl(¬a), Vl(b))

2-й спосiб: Якщо 0 ≤ Vp(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vp(b) ≤ 1, тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − Vp(a) + Vp(a) • Vp(b), при цьому 0 ≤ Vp(a b) ≤ 1

Приклади

Нехай Vp(a) = 0 i Vp(b) = 0. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − Vp(a) + Vp(a) • Vp(b) = 1 − 0 + 0 • 0 = 1 − 0 + 0 = 1.

В частности:

Оскiльки Vp( All dogs mew. ) = 0 i Vp( All cats bark. ) = 0, постiльки Vp( All dogs mew. $~\to$ All cats bark. ) = 1.

Оскiльки Vp( 2 > 3 ) = 0 i Vp( 2 + 2 > 4 ) = 0, остiльки Vp( 2 > 3 $~\to$ 2 + 2 > 4 ) = 1.

Оскiльки Vp( H₂ + F₂ → Ag ) = 0 i Vp( Cu + Hg → Au ) = 0, остiльки Vp( H₂ + F₂ → Ag $~\to$ Cu + Hg → Au ) = 1.

Нехай Vp(a) = 1 i Vp(b) = 0. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − Vp(a) + Vp(a) • Vp(b) = 1 − 1 + 1 • 0 = 1 − 1 + 0 = 0.

В частности:

Оскiльки Vp( Some dog barks. ) = 1 i Vp( All penguins fly. ) = 0, остiльки Vp( Some dog barks. $~\to$ All penguins fly.) = 0.

Оскiльки Vp( 3 > 2 ) = 1 i Vp( 2 + 2 > 4 ) = 0, остiльки Vp( 3 > 2 $~\to$ 2 + 2 > 4 ) = 0.

Оскiльки Vp( H₂ + F₂ → 2HF ) = 1 i Vp( Cu + Hg → Au ) = 0, остiльки Vp( H₂ + F₂ → 2HF $~\to$ Cu + Hg → Au ) = 0.

Нехай Vp(a) = 0 i Vp(b) = 1. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − Vp(a) + Vp(a) • Vp(b) = 1 − 0 + 0 • 1 = 1 − 0 + 0 = 1.

В частности:

Оскiльки Vp( All ostriches fly. ) = 0 i Vp( Some cat mews. ) = 1, остiльки Vp( All ostriches fly $~\to$ Some cat mews. ) = 1.

Оскiльки Vp( 2 > 3 ) = 0 i Vp( 2 + 2 ≤ 4 ) = 1, постiльки Vp( 2 > 3 $~\to$ 2 + 2 ≤ 4 ) = 1.

Оскiльки Vp( C + O₂ → CO₃ ) = 0 i Vp( C + O₂ → CO₂ ) = 1, остiльки Vp( C + O₂ → CO₃ $~\to$ C + O₂ → CO₂ ) = 1.

Нехай Vp(a) = 1 i Vp(b) = 1. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − Vp(a) + Vp(a) • Vp(b) = 1 − 1 + 1 • 1 = 1 − 1 + 1 = 1.

В частности:

Оскiльки Vp( Some dog barks. ) = 1 i Vp( Some cat mews. ) = 1, остiльки Vp( Some dog barks. $~\to$ Some cat mews. ) = 1.

Оскiльки Vp( 3 > 2 ) = 1 i Vp( 2 + 2 ≤ 4 ) = 1, остiльки Vp( 3 > 2 $~\to$ 2 + 2 ≤ 4 ) = 1.

Оскiльки Vp ( 2C + O₂ → 2CO ) = 1 i Vp( 2CO + O₂ → 2CO₂ ) = 1, остiльки Vp( 2C + O₂ → 2CO $~\to$ 2CO + O₂ → 2CO₂) = 1.

Нехай Vp(a) = 1/8 i Vp(b) = 3/4. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − 1/8 + 1/8 • 3/4 = 7/8 + 3/32 = 31/32 = 0.96875.

В частности:

Якщо Vp(Abel killed Cain.) = 1/8 i Vp(Cain killed Abel.) = 3/4, тодi Vp(Abel killed Cain. $~\to$ Cain killed Abel.) = 31/32.

Нехай Vp(a) = 1/2 i Vp(b) = 1/2. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − 1/2 + 1/2 • 1/2 = 1/2 + 1/4 = 3/4 = 0.75.

В частности:

Якщо Vp(Peresvet killed Chelubey.) = 1/2 i Vp(Chelubey killed Peresvet.) = 1/2, тодi Vp(Peresvet killed Chelubey. $~\to$ Chelubey killed Peresvet.) = 3/4.

Нехай Vp(a) = 3/4 i Vp(b) = 1/8. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − 3/4 + 3/4 • 1/8 = 1/4 + 3/32 = 11/32 = 0.34375.

В частности:

Якщо Vp(Cain killed Abel.) = 3/4 i Vp(Abel killed Cain.) = 1/8, тодi Vp(Cain killed Abel. $~\to$ Abel killed Cain.) = 11/32.

Нехай Vp(a) = 0 i 0 ≤ Vp(b) ≤ 1. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − 0 + 0 • Vp(b) = 1 − 0 + 0 = 1.

В частности:

Оскiльки Vp(The Moon is made of green cheese.) = 0, остiльки Vp(The Moon is made of green cheese. $~\to$ b) = 1 при будь-якому реченнi b.

Нехай Vp(b) = 1 i 0 ≤ Vp(a) ≤ 1. Тодi Vp(a b) = 1 − Vp(a) + Vp(a) • 1 = 1 − Vp(a) + Vp(a) = 1.

В частности:

Оскiльки Vp(Phobos is a moon of Mars.) = 1, остiльки Vp(a $~\to$ Phobos is a moon of Mars.) = 1 при будь-якому реченнi a.

Нехай Vp(a) = 1 i 0 ≤ Vp(b) ≤ 1. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − 1 + 1 • Vp(b) = Vp(b) ≤ Vp(b).

В частности:

Оскiльки Vp(Phobos is a moon of Mars.) = 1, остiльки Vp(Phobos is a moon of Mars. $~\to$ b) = Vp(b) при будь-якому однозначному реченнi b.

Нехай Vp(b) = 0 i 0 ≤ Vp(a) ≤ 1. Тодi Vp(a $~\to$ b) = 1 − Vp(a) + Vp(a) • 0 = 1 − Vp(a) ≤ 1 − Vp(a) = Vp(¬a).

В частности:

Оскiльки Vp(The Moon is made of green cheese.) = 0, остiльки Vp(a $~\to$ The Moon is made of green cheese.) = 1 − Vp(a) при будь-якому однозначному реченнi a.

Примитка:

1 − Vp(a) + Vp(a) • Vp(b) = Vp(¬a) + Vp(a) • Vp(b)

3-й спосiб Якщо 0 ≤ Vf(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vf(b) ≤ 1, тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − Vf(a) + Vf(b)), при цьому 0 ≤ Vf(a $~\to$ b) ≤ 1.

Приклади

Нехай Vf(a) = 0 i Vf(b) = 0. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 0 + 0) = min(1, 1) = 1.

Нехай Vf(a) = 1 i Vf(b) = 0. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 1 + 0) = min(1, 0) = 0.

Нехай Vf(a) = 0 i Vf(b) = 1. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 0 + 1) = min(1, 2) = 1.

Нехай Vf(a) = 1 i Vf(b) = 1. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 1 + 1) = min(1, 1) = 1.

Нехай Vf(a) = 1/8 i Vf = 3/4. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 1/8 + 3/4) = min(1, 7/8 + 3/4) = min(1, 13/8) = 1.

Нехай Vf(a) = 1/2 i Vf(b) = 1/2. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 1/2 + 1/2) = min(1, 1) = 1.

Нехай Vf(a) = 3/4 i Vf(b) = 1/8. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 3/4 + 1/8) = min(1, 1/4 + 1/8) = min(1, 3/8) = 3/8 = 0.375.

Нехай Vf(a) = 0 i 0 ≤ Vf(b) ≤ 1. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 0 + Vf(b)) = min(1, 1 + Vf(b)) = 1.

Нехай Vf(b) = 1 i 0 ≤ Vf(a) ≤ 1. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − Vf(a) + 1) = min(1, 2 − Vf(a)) = 1.

Нехай Vf(a) = 1 i 0 ≤ Vf(b) ≤ 1. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − 1 + Vf(b)) = min(1, Vf(b)) = Vf(b) ≤ Vf(b).

Нехай Vf(b) = 0 i 0 ≤ Vf(a) ≤ 1. Тодi Vf(a $~\to$ b) = min(1, 1 − Vf(a) + 0) = 1 − Vf(a) ≤ 1 − Vf(a) = Vf(¬a).

Примiтки:

min(1, 1 − Vf(a) + Vf(b)) = 1/2 • (2 + Vf(b) − Vf(a) − | Vf(b) − Vf(a) | )

Якщо Vf(a) > Vf(b), тодi Vf(a $~\to$ b) = 1 − Vf(a) + Vf(b) = Vf(¬a) + Vf(b); якщо Vf(a) ≤ Vf(b), тодi Vf(a $~\to$ b) = 1.

4-й спосiб: Якщо 0 ≤ Vn(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vn(b) ≤ 1, тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (Vn(b) − Vn(a)) / 2|Vn(b) − Vn(a)|, при цьому 0 ≤ Vn(a $~\to$ b) ≤ 1.

Приклади

Нехай Vn(a) = 0 i Vn(b) = 0. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (0 − 0) / 2|0 − 0| = 1/2 + 1/2 = 1.

Нехай Vn(a) = 1 i Vn(b) = 0. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (0 − 1) / 2|0 − 1| = 1/2 − 1/2 = 0.

Нехай Vn(a) = 0 i Vn(b) = 1. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (1 − 0) / 2|1 − 0| = 1/2 + 1/2 = 1.

Нехай Vn(a) = 1 i Vn(b) = 1. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (1 − 1) / 2|1 − 1| = 1/2 + 1/2 = 1.

Нехай Vn(a) = 1/8 i Vn(b) = 3/4. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (3/4 − 1/8) / 2| 3/4 − 1/8 | = 1/2 + 1/2 = 1.

Нехай Vn(a) = 1/2 i Vn(b) = 1/2. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (1/2 − 1/2) / 2| 1/2 − 1/2 | = 1/2 + 1/2 = 1.

Нехай Vn(a) = 3/4 i Vn(b) = 1/8. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (1/8 − 3/4) / 2| 1/8 − 3/4 | = 1/2 − 1/2 = 0.

Нехай Vn = 0 i 0 ≤ Vn(b) ≤ 1. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (Vn(b) − 0) / 2| Vn(b) − 0 | = 1/2 + Vn(b) / 2| Vn(b) | = 1/2 + 1/2 = 1.

Нехай Vn(b) = 1 i 0 ≤ Vn(a) ≤ 1. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 1/2 + (1 − Vn(a)) / 2 | 1 − Vn(a) | = 1/2 + 1/2 = 1.

Нехай Vn(a) = 1 i 0 ≤ Vn(b) < 1. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 0 ≤ Vn(b).

Якщо Vn(a) =1 i Vn(b) = 1, тодi Vn(a $~\to$ b) = 1 = Vn(b) ≤ Vn(b).

Нехай Vn(b) = 0 i 0 < Vn(a) ≤ 1. Тодi Vn(a $~\to$ b) = 0 ≤ 1 − Vn(a) = Vn(¬a).

Якщо Vn(b) = 0 i Vn(a) = 0, тодi Vn(a $~\to$ b) = 1 = 1 − 0 = 1 − Vn(a) ≤ 1 − Vn(a) = Vn(¬a).

Примiтка

Vn(a $~\to$ b) - булевозначная функция, а именно: якщо Vn(a) > Vn(b), тодi Vn(a $~\to$ b) = 0; якщо Vn(a) ≤ Vn(b), тодi Vn(a $~\to$ b) = 1.

Сводная таблица результатов расчёта достоверности импликаций

Validity(a)	Validity(b)		Vl(a $~\to$ b)	Vp(a $~\to$ b)	Vf(a $~\to$ b)	Vn(a $~\to$ b)	Validity(a $~\to$ b)
0	0		1	1	1	1	1
1	0		0	0	0	0	0
0	1		1	1	1	1	1
1	1		1	1	1	1	1
1/8	3/4		7/8	31/32	1	1	≥ 7/8 and ≤ 1
1/2	1/2		1/2	3/4	1	1	≥ 1/2 and ≤ 1
3/4	1/8		1/4	11/32	3/8	0	≥ 0 and ≤ 3/8
0	≤ 0 and ≤ 1		1	1	1	1	1
≥ 0 and ≤ 1	1		1	1	1	1	1
1	≥ 0 and ≤ 1		Vl(b)	Vp(b)	Vf(b)	≤ Vn(b)	≤ Validity(b)
≥ 0 and ≤ 1	0		1 − Vl(a)	1 − Vp(a)	1 − Vf(a)	≤ (1 − Vn(a))	≤ (1 − Validity(a))

Доповнення

Якщо Vl(a) = Vp(a) i Vl(b) = Vp(b), а також Vl(a) $~\in$ {0, 1}, Vp(a) $~\in$ {0, 1}, Vl(b) $~\in$ {0, 1} i Vp(b) $~\in$ {0, 1}, тодi Vl(a $~\to$ b) = Vp(a $~\to$ b).

Якщо Vl(a) = Vf(a) i Vl(b) = Vf(b), а також Vl(a) $~\in$ {0, 1}, Vf(a) $~\in$ {0, 1}, Vl(b) $~\in$ {0, 1} i Vf(b) $~\in$ {0, 1}, тодi Vl(a $~\to$ b) = Vf(a $~\to$ b).

Якщо Vl(a) = Vn(a) i Vl(b) = Vn(b), а також Vl(a) $~\in$ {0, 1}, Vn(a) $~\in$ {0, 1}, Vl(b) $~\in$ {0, 1} i Vn(b) $~\in$ {0, 1}, тодi Vl(a $~\to$ b) = Vn(a $~\to$ b).

Якщо 0 ≤ Vl(a) = Vp(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vl(b) = Vp(b) ≤ 1, тодi Vl(a $~\to$ b) ≤ Vp(a $~\to$ b).

Якщо 0 ≤ Vp(a) = Vf(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vp(b) = Vf(b) ≤ 1, тодi Vp(a $~\to$ b) ≤ Vf(a $~\to$ b).

Якщо 0 ≤ Vf(a) = Vn(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vf(b) = Vn(b) ≤ 1, а також Vn(a) ≤ Vn(b), тодi Vf(a $~\to$ b) = Vn(a $~\to$ b) = 1.

Якщо 0 ≤ Vn(a) = Vl(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vn(b) = Vl(b) ≤ 1, а також Vn(a) > Vn(b), тодi Vn(a $~\to$ b) ≤ Vl(a $~\to$ b).

Якщо 0 < Vl(a) = Vp(a) < 1 i 0 < Vl(b) = Vp(b) < 1, тодi Vl(a $~\to$ b) < Vp(a $~\to$ b).

Якщо 0 < Vp(a) = Vf(a) < 1 i 0 < Vp(b) = Vf(b) < 1, тодi Vp(a $~\to$ b) < Vf(a $~\to$ b).

Якщо 0 < Vf(a) = Vn(a) < 1 i 0 < Vf(b) = Vn(b) < 1, а також Vn(a) ≤ Vn(b), тодi Vf(a $~\to$ b) = Vn(a $~\to$ b) = 1.

Якщо 0 < Vl(a) = Vn(a) < 1 i 0 < Vl(b) = Vn(b), а також Vn(a) > Vn(b), тодi Vl(a $~\to$ b) > Vn(a $~\to$ b) = 0.

Якщо Vl(a)=Vp(a)=Vf(a)=Vn(a) = 0 i 0 ≤ Vl(b)=Vp(b)=Vf(b)=Vn(b) ≤ 1, тодi Vl(a $~\to$ b)=Vp(a $~\to$ b)=Vf(a $~\to$ b)=Vn(a $~\to$ b) = 1

Якщо Vi(b) = Vp(b) = Vf(b) = 0 i 0 ≤ Vi(a) = Vp(a) = Vf(a) ≤ 1, тодi Vl(a $~\to$ b) = Vp(a $~\to$ b) = Vf(a $~\to$ b) = Vl(¬a) = Vp(¬a) = Vf(¬a).

Якщо Vn(b) = 0 i 0 ≤ Vn(a) ≤ 1, тодi Vn(a $~\to$ b) ≤ 1 − Vn(a) = Vn(¬a).

Якщо Vl(a) = Vp(a) = Vf(a) = 1 i 0 ≤ Vl(b) = Vp(b) = Vf(b) ≤ 1, тодi Vl(a $~\to$ b) = Vp(a $~\to$ b) = Vf(a $~\to$ b) = Vl(b) = Vp(b) = Vf(b)

Якщо Vn(a) = 1 i 0 ≤ Vn(b) ≤ 1, тодi Vn(a b) ≤ Vn(b).

Якщо Vl(b)=Vp(b)=Vf(b)=Vn(b) = 1 i 0 ≤ Vl(a)=Vp(a)=Vf(a)=Vn(a) ≤ 1, тодi Vl(a $~\to$ b)=Vp(a $~\to$ b)=Vf(a b)=Vn(a $~\to$ b) = 1

Якщо Vl(a $~\to$ b) = 1, а також 0 ≤ Vl(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vl(b) ≤ 1, тодi Vl(a) ≤ Vl(b).

Якщо Vp(a $~\to$ b) = 1, а також 0 ≤ Vp(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vp(b) ≤ 1, тодi Vp(a) ≤ Vp(b).

Якщо Vf(a $~\to$ b) = 1, а також 0 ≤ Vf(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vf(b) ≤ 1, тодi Vf(a) ≤ Vf(b).

Якщо Vn(a $~\to$ b) = 1, а також 0 ≤ Vn(a) ≤ 1 i 0 ≤ Vn(b) ≤ 1, тодi Vn(a) ≤ Vn(b).

Якщо Vl(a $~\to$ b) = 1 i Vl(a) = 1, тодi Vl(b) = 1.

Якщо Vp(a $~\to$ b) = 1 i Vp(a) = 1, тодi Vp(b) = 1.

Якщо Vf(a $~\to$ b) = 1 i Vf(a) = 1, тодi Vf(b) = 1.

Якщо Vn(a $~\to$ b) = 1 i Vn(a) = 1, тодi Vn(b) = 1.

Якщо Vl(a $~\to$ b) = 1 i Vl(b) = 0, тодi Vl(a) = 0.

Якщо Vp(a $~\to$ b) = 1 i Vp(b) = 0, тодi Vp(a) = 0.

Якщо Vf(a $~\to$ b) = 1 i Vf(b) = 0, тодi Vf(a) = 0.

Якщо Vn(a $~\to$ b) = 1 i Vn(b) = 0, тодi Vn(a) = 0.

Сводка полезных правил

Правило 0.1: Якщо 0 ≤ V_alidity(a) ≤ V_alidity(b) ≤ 1, тодi max(1 − V_alidity(a), V_alidity(b)) ≤ V_alidity(a $~\to$ b) ≤ 1.

Правило 0.2: Якщо 1 ≥ V_alidity(a) > V_alidity(b) ≥ 0, тодi 0 ≤ V_alidity(a $~\to$ b) ≤ 1 − V_alidity(a) + V_alidity(b).

Правило 1.1: Любая импликация с ложным антецедентом верна (Из лжи следует всё, что угодно).

Якщо V_alidity(a) = 0, тодi V_alidity(a $~\to$ b) = 1.

Приклади

Оскiльки V_alidity( All dogs mew.) = 0, остiльки V_alidity( All dogs mew. $~\to$ Abel killed Cain. ) = 1.

Оскiльки V_alidity( All cats bark. ) = 0, V_alidityValidity( All cats bark. $~\to$ Cain killed Abel. ) = 1.

Оскiльки V_alidity( 1 < 0 ) = 0, остiльки V_alidity( 1 < 0 $~\to$ 2 • 2 > 4 ) = 1.

Оскiльки V_alidity( 1 < 0 ) = 0, остiльки V_alidity( 1 < 0 $~\to$ 2 • 2 ≤ 4 ) = 1.

Правило 1.2 Любая импликация с верным консеквентом верна (Импликация с банальным заключением - трюизм.).

Якщо V_alidity(b) = 1, тодi V_alidity(a $~\to$ b) = 1.

Приклади

Оскiльки V_alidity(Some dogs bark.) = 1, остiльки V_alidity(Abel killed Cain. $~\to$ Some dogs bark.) = 1.

Оскiльки V_alidity(Some cats mew.), остiльки V_alidity(Cain killed Abel. $~\to$ Some cats mew.) = 1.

Оскiльки V_alidity(0 < 1) = 1, остiльки V_alidity(2 • 2 > 4 $~\to$ 0 < 1) = 1.

Оскiльки V_alidity(0 < 1) = 1, остiльки V_alidity(2 • 2 ≤ 4 $~\to$ 0 < 1) = 1.

Правило 2.1: Достоверность любой импликации с верным антецедентом не больше достоверности ее консеквента.

Якщо V_alidity(a) = 1, тодi V_alidity(a $~\to$ b) ≤ V_alidity(b).

Приклади

Оскiльки V_alidity( 1 > 0 ) = 1, остiльки V_alidity( 1 > 0 $~\to$ 2 • 2 > 4 ) ≤ V_alidity( 2 • 2 > 4 ).

Оскiльки V_alidity( 1 > 0 ) = 1, остiльки V_alidity( 1 > 0 $~\to$ 2 • 2 ≤ 4 ) ≤ V_alidity( 2 • 2 ≤ 4 ).

Оскiльки V_alidity(The Earth moves round the Sun.) = 1, остiльки V_alidity(The Earth moves round the Sun. $~\to$ Дядька живёт в Киеве.) ≤ V_alidity(Дядька живёт в Киеве.).

Правило 2.2: Достоверность любой импликации с ложным консеквентом не больше достоверности отрицания её антецедента.

Якщо V_alidity(b) = 0, тодi V_alidity(a $~\to$ b) ≤ 1 − V_alidity(a) = V_alidity(¬a).

Приклади

Оскiльки V_alidity(0 > 1) = 0, остiльки V_alidity(2 • 2 > 4 $~\to$ 0 > 1) ≤ V_alidity(2 • 2 ≤ 4).

Оскiльки V_alidity(0 > 1) = 0, остiльки V_alidity(2 • 2 ≤ 4 $~\to$ 0 > 1) ≤ V_alidity(2 • 2 > 4)

Оскiльки V_alidity(The Sun moves round the Earth.) = 0, остiльки V_alidity(Дядька живёт в Киеве. $~\to$ The Sun moves round the Earth.) ≤ V_alidity(Дядька не живёт в Киеве).

Правило 3: Достоверность антецедента верной импликации не больше, чем достоверность ее консеквента.

Якщо V_alidity(a $~\to$ b) = 1, тодi V_alidity(a) ≤ V_alidity(b)

Приклади

Оскiльки V_alidity( Abel and Cain killed each other. $~\to$ Abel killed Cain. ) = 1, остiльки V_alidity( Abel and Cain killed each other. ) ≤ V_alidity( Abel killed Cain. ).

Оскiльки V_alidity( Abel and Cain killed each other. $~\to$ Cain killed Abel. ) = 1, остiльки V_alidity( Abel and Cain killed each other. ) ≤ V_alidity( Cain killed Abel. )

Оскiльки V_alidity(Peresvet and Chelubey killed each other. $~\to$ Peresvet killed Chelubey.) = 1, остiльки V_alidity(Peresvet and Chelubey killed each other.) ≤ V_alidity(Peresvet killed Chelubey.)

Оскiльки V_alidity(Peresvet and Chelubey killed each other. $~\to$ Chelubey killed Peresvet.) = 1, остiльки V_alidity(Peresvet and Chelubey killed each other.) ≤ V_alidity(Chelubey killed Peresvet.).

Правило 4.1: Верная импликация с верным антецедентом имеет верный консеквент (см. также Modus ponens).

Якщо V_alidity(a $~\to$ b) = 1 i V_alidity(a) = 1, тодi V_alidity(b) = 1.

Приклад

Оскiльки V_alidity(Jack Ruby shot and fatally wounded Lee Oswald. $~\to$ Lee Oswald was shot.) = 1 i V_alidity(Jack Ruby shot and fatally wounded Lee Oswald.) = 1, остiльки V_alidity(Lee Oswald was shot.) = 1.

Правило 4.2: Верная импликация с ложным консеквентом имеет ложный антецедент (см. также Modus tollens).

Якщо V_alidity(a $~\to$ b) = 1 i V_alidity(b) = 0, тодi V_alidity(a) = 0.

Приклад

Оскiльки V_alidity(Lee Oswald shot and fatally wounded Jack Ruby. $~\to$ Jack Ruby was fatally wounded.) = 1 i V_alidity(Jack Ruby was fatally wounded.) = 0, остiльки V_alidity(Lee Oswald shot and fatally wounded Jack Ruby.) = 0.

Правило 5.1: Достоверность импликации не убывает при увеличении достоверности её антецедента.

Якщо 0 ≤ V_alidity(a₁) < V_alidity(a₂) ≤ 1 i 0 ≤ V_alidity(b) ≤ 1, тодi V_alidity(a₁ $~\to$ b) ≥ V_alidity(a₂ $~\to$ b).

Правило 5.2: Достоверность импликации не возрастает при увеличении достоверности её консеквента.

Якщо 0 ≤ V_alidity(b₁) < V_alidity(b₂) ≤ 1 i 0 ≤ V_alidity(a) ≤ 1, тодi V_alidity(a $~\to$ b₁) ≤ V_alidity(a $~\to$ b₂).

Кое-что об Английском языке

Начнём со следующего примера:

Английское предложение "Cain is likely to have beaten Abel." содержит не числовую, а вербальную оценку "likely" достоверности события "Cain beat Abel.", а Английское предложение "Abel is unlikely to have bitten Abel." содержит не числовую, а вербальную оценку "unlikely" достоверности события "Abel bit Cain.".

Возникает вопрос: "Каковы вербальные оценки достоверности событий "Cain beat Abel if Abel bit Cain." и "Abel bit Cain if Cain beat Abel.", если известны указанные вербальные оценки достоверности событий "Cain beat Abel." и "Abel bit Cain."?

Ответ на указанный вопрос таков:

1) "It is likely that Cain beat Abel if Abel bit Cain."

2) "It is unlikely that Abel bit Cain if Cain beat Abel.".

Англоязычные лица пользуются разнообразными вербальными оценками достоверности событий, включая следующие оценки:

– quite unlikely (например, в предложении "He is quite unlikely to have loved her." для оценки события "He loved her."),

– very unlikely (например, в предложении "She is very unlikely to have eaten vareniki." для оценки события "She ate vareniki."),

– unlikely (например, в предложении "He is unlikely to have cooked vareniki." для оценки события "He cooked vareniki."),

– seem (например, в предложении "They seem to have slept together." для оценки события "They slept together."),

– likely (например, в предложении "She is likely to have cooked vareniki." для оценки события "She cooked vareniki."),

– very likely (например, в предложении "He is very likely to have eaten vareniki." для оценки события "He ate vareniki."),

– quite likely (например, в предложении "She is quite likely to have loved him." для оценки события "She loved him.").

Возникает вопрос: "Какова вербальная оценка достоверности события "b if a.", если известны вербальные оценки событий a и b?". Ответ на этот вопрос содержится в нижеследующей таблице и примерах её использования.

Таблица вербальных оценок достоверности события "b if a"

b\a	quite unlikely	very unlikely	unlikely	seem	likely	very likely	quite likely
quite unlikely	quite likely	very likely	likely	seem	unlikely	very unlikely	quite unlikely
very unlikely	quite likely	very likely	likely	seem	unlikely	very unlikely	very unlikely
unlikely	quite likely	very likely	likely	seem	unlikely	unlikely	unlikely
seem	quite likely	very likely	likely	seem	seem	seem	seem
likely	quite likely	very likely	likely	likely	likely	likely	likely
very likely	quite likely	very likely	very likely	very likely	very likely	very likely	very likely
quite likely	quite likely	quite likely	quite likely	quite likely	quite likely	quite likely	quite likely

Примеры пользования таблицей

Якщо "He is very likely to have eaten vareniki." i "They seem to have slept together.", тодi "It seems that they slept together if he ate vareniki.".

Якщо "They seem to have slept together." i "He is unlikely to have cooked vareniki.", тодi "It seems that he cooked vareniki if they slept together.".

Якщо "Cain is very likely to have beaten Abel." i "Abel is unlikely to have bitten Cain.", тодi "It is unlikely that Abel bit Cain if Cain beat Abel.".

Якщо "Abel is quite unlikely to have bitten Cain." i "Cain is very likely to have beaten Abel.", тодi "It is quite likely that Cain beat Abel if Abel bit Cain.".

--Галактион 08:16, 15 травня 2009 (UTC)