Логічна імплікація

IMPLY
Визначення	$a\rightarrow b$
Таблиця істинності	$(1011)$
Логічний вентиль
Нормальні форми
Диз'юнктивна	${\overline {a}}+b$
Кон'юнктивна	${\overline {a}}+b$
Алгебрична	$1\oplus a\oplus ab$
Ґратка Поста
$P_{0}$ (зберігає 0)	✗
$P_{1}$ (зберігає 1)	Так
$M$ (монотонна)	✗
$L$ (лінійна)	✗
$S$ (само-двоїста)	✗

Імплікація — логічний сполучник «якщо…, то…», тобто оператор між множиною T формул та формулою B, що виконується, якщо кожна модель (або інтерпретація) T також є моделлю B. У символьному вигляді:

1. $T\models B$,
2. $T\Rightarrow B$
3. $T\to B$
4. $T\therefore B$

Двомісна логічна операція, що має значення «хибний», тоді й лише тоді, коли перший операнд має значення «істинний», а другий — «хибний».

Логічну імплікацію можна задати через інші логічні операції, наприклад:

$A\to B\equiv \neg A\lor B$

Визначення

Таблиця істинності має такий вигляд:

$A$	$B$	$A\to B$
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

Імплікація як булева функція хибна лише тоді, коли посилка істинна, а наслідок хибний. Інакше кажучи, імплікація $A\to B$ — це скорочений запис для виразу $(\neg A)\lor B$.

Способи запам'ятовування таблиці істинності

Для легшого розуміння сенсу прямої імплікації і запам'ятовування її таблиці істинності варто згадати, що в теорії множин різниця двох множин А-В матиме таблицю належності (0 0 1 0). А заперечення різниці множин НЕ(А-В) й даватиме (1 1 0 1), що в алгебрі логіки назвали імплікацією. Також, можна навести для прикладу деякі життєві моделі:

А — начальник. Він може наказати «працюй» (1) або сказати «роби, що хочеш» (0). В — підлеглий. Він може працювати (1) або байдикувати (0). У такому разі імплікація — не що інше, як послух підлеглого начальнику. За таблицею істинності легко перевірити, що слухняності немає тільки тоді, коли начальник наказує працювати, а підлеглий ледарює.

Начальник	Підлеглий	Слухняність
Роби, що хочеш	Байдикує	Є
Роби, що хочеш	Працює	Є
Працюй	Байдикує	Немає
Працюй	Працює	Є

А — предмет студента. Студент може його «знати» (1) або «не знати» (0). В — сесія студента. Сесію можна скласти (1) або не скласти (0). У такому разі імплікація — істинність існування заліку/незаліку.

Предмет	Сесія	Правдивість складення сесії
Не знає предмет	Не складає сесію	Правда
Не знає предмет	Складає сесію	Правда (бо може таке бути)
Знає предмет	Не складає сесію	Неправда
Знає предмет	Складає сесію	Правда

Властивості

• $a\to b\equiv (\lnot b)\rightarrow (\lnot a)$

Функціональна повнота

Множини операцій $\{\to ,\lnot \},\{\to ,\bot \},\{\to ,\not \to \},\{\to ,\not \leftrightarrow \}$ є функціонально повними:

$a\not \to a\equiv \bot$

$a\not \leftrightarrow a\equiv \bot$

$\lnot a\equiv a\to \bot$

$a\lor b\equiv (\lnot a)\rightarrow b$

$a\land b\equiv \lnot (a\rightarrow \lnot b)$

$a\;|\;b\equiv a\to \lnot b$

$a\downarrow b\equiv \lnot ((\lnot a)\rightarrow b)$

...

Булева логіка

У булевій логіці імплікація — це функція від двох змінних (вони ж — операнди операції, аргументи функції). Змінні можуть приймати значення з $~\{0,1\}$. Результат також належить $~\{0,1\}$. Обчислення результату проводиться за простим правилом, або за таблицею істинності. Замість значень $~0,1$ може використовуватися будь-яка інша пара підхожих символів, наприклад $~false,true$ або $~F,T$ або «хибний», «істинний».

Див. також

• Алгебра логіки (булева алгебра)
• Таблиця математичних символів
• Теорема про дедукцію

Джерела

• Г. Цейтлін. Елементи теорії булевих функцій. — Київ : Техніка, 1967. — 76 с.(укр.)
• Вітенько І. В. Математична логіка: Курс лекцій. — Ужгород : УжДУ, 1971. — 224 с.(укр.)
• Хромой В. Я. Збірник вправ і задач з математичної логіки. — Київ : Вища школа, 1978. — 160 с.(укр.)
• Дрозд Ю. А. (2005). Основи математичної логіки (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 96. (укр.)
• Імплікація // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін ; Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України. — Київ : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X. — С. 238
• Імплікація // Літературознавча енциклопедія : у 2 т. / авт.-уклад. Ю. І. Ковалів. — Київ : ВЦ «Академія», 2007. — Т. 1 : А — Л. — С. 415.