Користувач:Галактион/Теорема Ролля

Подстраница "Користувач:Галактион/Теорема Ролля" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Теорема Ролля". Галактион 04:58, 5 березня 2010 (UTC)

Формулировка теоремы Ролля (фр. Michel Rolle) на языке сообщества математиков

${\begin{aligned}t\vdash \quad X\times Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{a,b\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a<b\ \land \ [a,b]\subseteq X\ \land \\\ \mathrm {f} :X\mapsto Y\ \land \ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} ([a,b])\ \land \ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{1}} ((a,b))\ \to \\\ (f(a)=f(b)\ \to \ \exists _{c\ \in \ (a,b)}\ (f'(c)=0))\end{aligned}}$

Примечания

Г.М. Фихтенгольц излагает теорему Ролля так:

Пусть 1) функция $~f(x)$ определена и непрерывна в замкнутом промежутке $~[a,b]$; 2) существует конечная производная $~f'(x)$, по крайней мере, в открытом промежутке $~(a,b)$; 3) на концах промежутка функция принимает равные значения: $~f(a)=f(b)$.

Тогда между $~a$ и $~b$ найдётся такая точка, $~c\ \ (a<c<b)$, что $~f'(c)=0$.

$~\{a,b\}\subseteq \mathbb {R} \ \Leftrightarrow \ \forall x\ (x\in \{a,b\}\to x\in \mathbb {R} )\ \Leftrightarrow \ \forall x\ (x=a\ \lor \ x=b\to x\in \mathbb {R} )\ \Leftrightarrow \ a\in \mathbb {R} \ \land \ b\in \mathbb {R}$

$~[a,b]\subseteq X\ \land \ X\subseteq \mathbb {R} \ \Rightarrow \ [a,b]=\{x|\ \ x\in \mathbb {R} \ \land \ a\leq x\leq b\}$

$~[a,b]\subseteq X\ \land \ X\subseteq \mathbb {R} \ \Rightarrow \ (a,b)=\{x|\ \ x\in \mathbb {R} \ \land \ a<x<b\}$

$~\mathrm {f} :X\mapsto Y\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f}$ - функция (отображение) из множества $~X$ в множество $~Y$.

$~\mathrm {f} :X\mapsto Y\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f} =\{\langle x,y\rangle |\quad \langle x,y\rangle \in X\times Y\ \ \land \ \ y=f(x)\}$

$~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} ([a,b])\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f}$ непрерывна на отрезке $~[a,b]\ \Leftrightarrow \ \forall _{x\ \in \ [a,b]}\ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (x))$

$~\Leftrightarrow \ \forall _{x\ \in \ [a,b]}\ \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x'\ \in \ \mathrm {dom(f)} }\ (|x'-x|<\delta \to |f(x')-f(x)|<\varepsilon )$

$~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{1}} ((a,b))\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f}$ дифференцируема в интервале $~(a,b)\ \Leftrightarrow \ \mathrm {f} '$ непрерывна на интервале $~(a,b)$

$~\Leftrightarrow \ \forall _{x\ \in \ (a,b)}\ (\mathrm {f} '\in \mathrm {C_{ont}} (x))$

$~\exists _{c\ \in \ (a,b)}\ (f'(c)=0)\ \Leftrightarrow \ \exists c\ (c\in (a,b)\ \land \ f'(c)=0)$

Галактион 15:43, 6 серпня 2009 (UTC)