Теорема Ролля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Rolle's theorem.svg

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

Формулювання[ред. | ред. код]

Нехай функція неперервна на проміжку , диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку . Нехай, окрім того, . Тоді на проміжку знайдеться принаймні одна точка така, що значення похідної у цій точці дорівнює нулю.

Доведення[ред. | ред. код]

Оскільки функція неперервна на проміжку , то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення та мінімального значення . Отже, маємо два випадки:

  1. ;
  2. ;

В першому випадку . Тому похідна дорівнює нулю в будь-якій точці проміжку .

У випадку, коли , оскільки , можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень чи досягається функцією в деякій внутрішній точці проміжку . Але тоді функція має у точці локальний екстремум. Оскільки функція диференційовна в точці , то за необхідною умовою локального екстремуму, .

Геометричний зміст теореми[ред. | ред. код]

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої рівні, то, згідно з теоремою Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі .

Нехай неперервної кривої (тобто образа інтервалу або окружності при неперервному відображенні у площину) у кожній точці існує дотичний вектор. Тоді між двома точками перетину кривої із розділяючим рішенням динамічної системи є тока контакту.

Перетин кривої із розділяючим рішенням є замкненою множиною. Доповнення цієї множини розпадається на (скінченні та нескінченні) інтервали. Кожний скінченний інтервал такого роду містить точку контакту. Нехай та - параметри кінців такого інтервалу, і передує у сенсі орієнтації кривої. Для усіх проміжних значень параметрів крива лежить у області Існує близький момент часу до , у який впорядкована пара векторів, яка складається з дотичного вектора до кривої та вектора динамічної системи, задає ту саму орієнтацію площини, що й за трансверсального входу кривої у область Оберемо локальну систему координат навколо точки кривої із параметром , у якій векторне поле динамічної системи стале. Нехай у цих локальних координатах область визначається нерівністю динамічна система має вигляд

розділяюче рішення є а крива задається вектор-функцією По умові за (та ) й Тому у деякий момент, близький до , похідна функції буде додатною. У цей момент впорядкована пара векторів задає потрібну орієнтацію площини.

Теорема є справедливою для -гладких кривих, трансверсально перекриваючих розділяюче рішення. Нехай та - параметри двох послідокних трансверсальних перетинів кривої із розділяючих рішенням. Це рішення ділить площину на дві (не обов'язково зв'язні) області: область орієнтованою межею якої воно є, та додаткову область Нехай у момент крива входить до області Тоді у момент крива виходить з області Впорядковані пари векторів, які складаються із дотичного вектора до кривої й вектора динамічної системи, у момент та визначають протилежні орієнтації площини. Відповідно, у деякий проміжний момент дотичний вектор та вектор динамічної системи є колінеарними.

Нехай крива, яка є гладким многовидом на площині, містить не більше ніж некомпактних (і будь-яке число компактних) компонент зв'язності й має не більше ніж точок контакту із динамічною системою. Тоді вона має не більш ніж ізольованих точок перетину із будь-яким розділяючи рішенням цієї системи.

На компактній компоненті точок перетину не більше, ніж точок контакту. На некомпактній - точок перетину може бути на одиницю більше, ніж точок контакту[1].


Література[ред. | ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Див. також[ред. | ред. код]

  1. Хованский А.Г. - Малочлены.