Теорема Ролля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Rolle's theorem.svg

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай функція неперервна на проміжку , диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку . Нехай, окрім того, . Тоді на проміжку знайдеться принаймні одна точка така, що значення похідної у цій точці дорівнює нулю.

Доведення[ред.ред. код]

Оскільки функція неперервна на проміжку , то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення та мінімального значення . Отже, маємо два випадки:

  1. ;
  2. ;

В першому випадку . Тому похідна дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка .

У випадку, коли , оскільки , можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень чи досягається функцією в деякій внутрішній точці проміжка . Але тоді функція має у точці локальний екстремум. Оскільки функція диференційовна в точці , то за необхідною умовою локального екстремуму, .

Геометричний зміст теореми[ред.ред. код]

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої рівні, то, згідно з теоремою Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі .

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.