Користувач:Knu mechmat/Невласні кратні інтеграли

Інтеграли від необмежених функцій

Нехай A ⊂ R^m — компактна вимірна множина, ${\vec {x}}^{0}\in A$ — фіксований вектор, покладемо $B=A\setminus \{{\vec {x}}^{0}\}$. Нехай функція f ∈ C(B). Нас цікавить випадок, коли функція f не обмежена на В. {{knu mechmat}} → Для $m=2,A={\bar {B}}(x_{1}^{0},x_{2}^{0})$, нехай ${\vec {x}}^{0}=(x_{1}^{0},x_{2}^{0}),\;r=r(x_{1},x_{2})={\sqrt {(x_{1}-x_{1}^{0})^{2}+(x_{2}-x_{2}^{0})^{2}}},\;f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{r^{\alpha }}},\;\alpha >0.$ Нехай {E_n | n ≥ 1} — послідовність вимірних відкритих підмножин R^m, що задовольняє умовам

1. $\forall n\geq 1:\;E_{n}\ni {\vec {x}}^{0};$
2. $d(E_{n})=\sup _{\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}\subset E_{n}}\rho _{m}({\vec {x}},{\vec {y}})\to 0,n\to \infty .$

Такі послідовності існують. Наприклад, умовам 1 і 2 задовольняє наступна послідовність відкритих вимірних шарів

$E_{n}=B({\vec {x}}^{0},\delta _{n}),\;\delta _{n}>0,\;n\geq 1;\;\delta _{n}\to 0,n\to \infty .$

Кожна із множин A \ E_n, n ≥ 1, компактна та вимірна. Крім того,

$\bigcup _{n=1}^{\infty }(A\setminus E_{n})=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B\setminus E_{n})=B;\quad \forall n\geq 1:f\in C(A\setminus E_{n}).$

^{[усталений термін?]} Невласним m-кратним інтегралом від функції f по множині А називається границя

$\lim _{n\to \infty }\int _{A\setminus E_{n}}f({\vec {x}})d{\vec {x}}$.

Шаблон:Denotation $\int _{A}f({\vec {x}})d{\vec {x}}$.

^{[усталений термін?]} Якщо границя існує, скінчена і не залежить від вибору послідовності, то невласний інтеграл називають збіжним, в інших випадках  — розбіжним.

^{[усталений термін?]} Границя $\lim _{n\to \infty }\int _{A\setminus B_{n}({\vec {x}}^{0},\delta _{n})}f({\vec {x}})d{\vec {x}}$, якщо вона існує і скінченна, називається головним значенням розбіжного інтеграла.

Шаблон:Denotation $v.p.\int _{A}f({\vec {x}})d{\vec {x}}$

Шаблон:Plain theorem Для того щоб невласний інтеграл від неперервної і невід'ємної на множині В функції f збігався, необхідно і достатньо, щоб для деякої послідовності {D_n | n ≥ 1}, відкритих вимірних множин, що задовольняють умови 1,2 і таких, що D_n+1 ⊂ D_n, n ≥ 1, наступна послідовність була обмежена

$\int _{A\setminus D_{n}}f({\vec {x}})d{\vec {x}},\;n\geq 1.$

^{[усталений термін?]} Невласний інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збігається невласний інтеграл

$\int _{A}{\big |}f({\vec {x}}){\big |}\,d{\vec {x}}$.

Інтеграли по необмеженим множинам

Нехай B ⊂ R^m — необмежена множина, для якого існує послідовність {D_n | n ≥ 1} компактних вимірних множин, яка задовольняє наступні умови

1. $\forall n\geq 1:\;D_{n}\subset D_{n+1}\subset B;$
2. $\forall c>0\quad \exists n\geq N:\;(B\cap B({\vec {0}},c))\subset D_{n}.$

^{[усталений термін?]} Таку послідовність {D_n | n ≥ 1} називають вичерпною для множини В.

Нехай f ∈ C(B). ^{[усталений термін?]} Невласним інтегралом від функції f по множині В називається границя

$\lim _{n\to \infty }\int _{D_{n}}f({\vec {x}})d{\vec {x}}$.

Шаблон:Denotation $\int _{A}f({\vec {x}})d{\vec {x}}$.

^{[усталений термін?]} Невласний інтеграл називається збіжним, якщо границя скінченна і не залежить від вибору вичерпної послідовності {D_n | n ≥ 1}. В інших випадках інтеграл називається розбіжним.

Література

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.