Лема Лачлана

Рис.1

Коло, яке проходить через точки $ABC$ , дотикається до кола $\omega$ внутрішнім чином тоді і лише тоді, коли $AB\cdot CT+BC\cdot AK=AC\cdot BP$ , де  $AK,BP$ і $CT$відрізки дотичних, проведених з точок $A,B$ і $C$ до кола $\omega$ (рис. 1).

Доведення леми Лачлана

Для доведення даної леми нам знадобиться довести, що якщо два кола з радіусами $R$ та $r$ дотикаються одне до одного внутрішнім способом в точці $M$(рис. 2)

Рис. 2

то для довільної точки $A$ на зовнішньому колі має місце співвідношення ${\frac {A'M}{AM}}={\frac {r}{R}}$, де $A'$ - точка  перетину прямої $AM$ з внутрішнім колом. Справді, центри кіл $O_{1},O_{2}$  та точка M лежать на одній прямій, тому що в точці $M$ обидва кола мають спільну дотичну. Тому наведене співвідношення випливає з подібності трикутників $AO_{2}M$ та $A'O_{1}M$.

Тепер доведемо лему Лачлана. Нехай два кола, що розглядаються, дотикаються в точці $M$ внутрішнім способом (рис. 12). У цьому випадку, врахувавши співвідношення подібності, що виведене на початку статті, і позначивши $q={\frac {r}{R}}$ та застосувавши теорему про січну і дотичну, отримаємо:

$AK={\sqrt {AM\cdot AA'}}={\sqrt {AM(AM-q\cdot AM)}}=AM{\sqrt {1-q}}$

$BP={\sqrt {BM\cdot BB'}}={\sqrt {BM(BM-q\cdot BM)}}=BM{\sqrt {1-q}}$

$CT={\sqrt {CM\cdot CC'}}={\sqrt {CM(CM-q\cdot CM)}}=CM{\sqrt {1-q}}$

Тому:

$AB\cdot CT+BC\cdot AK=AB\cdot CM{\sqrt {1-q}}+BC\cdot AM{\sqrt {1-q}}=(AB\cdot CM+BC\cdot AM){\sqrt {1-q}}$

Так, як чотирикутник $ABCM$ є вписаним, то застосувавши теорему Полемея отримаємо :

$(Ab\cdot CM+BC\cdot AM){\sqrt {1-q}}=AC\cdot BM{\sqrt {1-q}}=AC\cdot BP$

Доведена умова достатня і необхідна, бо достатню і необхідну умову виражає теорема Птолемея.