Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Коло, яке проходить через точки , дотикається до кола внутрішнім чином тоді і лише тоді, коли , де і відрізки дотичних, проведених з точок і до кола (рис. 1).
Для доведення даної леми нам знадобиться довести, що якщо два кола з радіусами та дотикаються одне до одного внутрішнім способом в точці (рис. 2)
то для довільної точки на зовнішньому колі має місце співвідношення , де - точка перетину прямої з внутрішнім колом. Справді, центри кіл та точка M лежать на одній прямій, тому що в точці обидва кола мають спільну дотичну. Тому наведене співвідношення випливає з подібності трикутників та .
Тепер доведемо лему Лачлана. Нехай два кола, що розглядаються, дотикаються в точці внутрішнім способом (рис. 12). У цьому випадку, врахувавши співвідношення подібності, що виведене на початку статті, і позначивши та застосувавши теорему про січну і дотичну, отримаємо:
Тому:
Так, як чотирикутник є вписаним, то застосувавши теорему Полемея отримаємо :
Доведена умова достатня і необхідна, бо достатню і необхідну умову виражає теорема Птолемея.
На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії.