Мішана похідна

Мішана похідна — результат послідовного обчислення часткових похідних по різних змінних для функції багатьох змінних.

Означення

Нехай дано достатньо гладку функцію $f$ багатьох змінних:

$(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$

Ми можемо взяти частинну похідну цієї функції по одному з аргументів $x_{i}$, вважаючи решту аргументів постійними параметрами. В результаті ми одержимо нову функцію:

$(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{n}=const}$

Ця нова функція теж залежить від решти аргументів, як від параметрів. Тобто чисельне значення $\phi$ в загальному випадку залежить від усіх тих змінних $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$, що і оригінальна функція $f$:

$(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})$

Якщо функція $\phi$ виявиться досить гладкою, то ми можемо і її продиференціювати, взявши частинну похідну по тому самому, або по іншому аргументу $x_{j}$:

$(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$

Якщо $\ j\neq i$, то вираз в правій частині рівності (4) називається мішаною похідною.

Теорема Шварца (рівність змішаних похідних)

Для достатньо гладкої функції багатьох змінних значення мішаної похідної не залежить від порядку диференціювання:

$(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2100+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Жалдак М.І., Михалін Г.О., Деканов С.Я. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)