Обмежена множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики — множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини. Поняття обмеженості множини не має сенсу у загальних топологічних просторах, без метрики.

Обмежена числова множина[ред.ред. код]

Множина дійсних чисел називається обмеженою зверху, якщо існує число , таке що всі елементи не перевищують :

Множина дійсних чисел називається обмеженою знизу, якщо існує число , таке що всі елементи не менше :

Множина , обмежена зверху і знизу, називається обмеженою.

Множина , що не є обмеженою, називається необмеженою. Як випливає з означення, множина не обмежена тоді і тільки тоді, коли вона не обмежена зверху або не обмежена знизу.

Прикладом обмеженої множини є відрізок ,

необмеженої — множина всіх цілих чисел ,
обмеженої зверху, але необмеженої знизу — промінь ,
обмеженої знизу, але необмеженої зверху— промінь .

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

Обмежена множина у метричному просторі[ред.ред. код]

Нехай  — метричний простір. Множина називається обмеженої, якщо вона міститься у деякій кулі :

Множина, що не є обмеженою, називається необмеженою.

На відміну від числової прямої, у довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженої зверху і обмеженої знизу множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття цілком обмеженої множини. У випадку числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.

Обмеженість у частково впорядкованій множині[ред.ред. код]

Поняття обмеженої зверху, обмеженої знизу і просто обмеженої множини можна ввести у довільній частково впорядкованій множині. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай  — частково впорядкована множина, . Множена називається обмеженою зверху, якщо

обмеженою знизу, якщо

Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженою.

Див. також[ред.ред. код]