Подвійне відношення

Подві́йне відно́шення (або складне́ відно́шення або застаріле ангармонічне відношення) четвірки чисел $a$, $b$, $c$, $d$ (дійсних чи комплексних) визначається як

$(ab,cd)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}}.$

Властивості

• Подвійне відношення зберігається при дробово-лінійних перетвореннях, зокрема не залежить від вибору координат на прямій.
• $(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)$
• $(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$

Варіації та узагальнення

Подвійним (або складним) відношенням четвірки точок $A$, $B$, $C$, $D$, що лежать на одній (дійсній або комплексній) прямій, називають число

$(AB,CD)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}},$

де через $a$, $b$, $c$, $d$ позначені координати точок $A$, $B$, $C$, $D$ відповідно. Подвійне відношення не залежить від вибору координати на прямій. Часто пишуть також так:

$(AB,CD)={\frac {AC}{BC}}:{\frac {AD}{BD}},$

припускаючи, що через $AC/BC$ (відповідно $AD/BD$) позначено відношення направлених відрізків.

• Подвійне відношення четвірки точок на прямій зберігається при проєктивних перетвореннях площини або простору.

Подвійним відношенням четвірки прямих $a$, $b$, $c$, $d$, що проходять через одну точку, називають число

$(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c)}}:{\frac {\sin(a,d)}{\sin(b,d)}},$

знак якого вибирається таким чином: якщо один з кутів, утворених прямими $a$ та $b$, не перетинається з жодною з прямих $c$ або $d$ (у цьому випадку кажуть, що пара прямих $a$ та $b$ не розділяє пару прямих $c$ та $d$), то $(ab,cd)>0$; в протилежному випадку $(ab,cd)<0$.

• Нехай четвірка прямих $a$, $b$, $c$, $d$ проходить через точку $O$, а пряма $\ell$ не містить $O$.

Вважатимемо, що прямі $a$, $b$, $c$, $d$ перетинаються з $\ell$ відповідно в точках $A$, $B$, $C$ та $D$. Тоді

• $(ab,cd)=(AB,CD).$

Див. також

• Гармонічна четвірка
• Просте відношення
• Пропорційні відрізки

Посилання

• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика?(рос.)
• Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
• Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание IX/ДО|Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.(рос.)