Комплексне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ко́мпле́ксні чи́сла — розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума , де і  — дійсні числа,  — уявна одиниця[1].

Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте поле — це означає, що многочлен степеня n із комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів (основна теорема алгебри). Це головна причина широкого застосування комплексних чисел у математиці. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно формулювати багато математичних моделей в фізиці.

Означення[ред.ред. код]

Поле комплексних чисел можна розглядати як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен має корінь. Наступна модель показує можливість побудови такої системи чисел. Усі змісти комплексних чисел є ізоморфними розширеннями поля дійсних чисел , як і будь-які інші конструкції поля розкладу многочлена .

Стандартна модель[ред.ред. код]

Комплексне число можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел . Введемо операції додавання і множення таких пар наступним чином:

Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і представлені парами виду , причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль зображується парою , одиниця — , а уявна одиниця — . На множині комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює , тобто

Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.

Арифметичні дії та інші операції[ред.ред. код]

Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності . Нехай та  — комплексні числа. Тоді:

Для комплексних чисел певним чином визначають також інші операції, наприклад, піднесення до довільного комплексного степеня, логарифмування, знаходження синуса, косинуса тощо. Деякі з цих операцій не є однозначними і ведуть до розгляду багатозначних функцій, які взагалі часто виникають при вивченні функцій комплексної змінної. Теорію про функції комплексної змінної часто називають комплексним аналізом. Одним зі способів означення елементарних функцій комплексної змінної є задання такої функції як суми степеневого ряду, в який можна розкласти аналогічну функцію дійсної змінної (див. Ряд Тейлора).

Властивості[ред.ред. код]

Зв'язані визначення[ред.ред. код]

Нехай і  — дійсні числа, такі, що комплексне число (звичайні позначення). Тоді

  • Числа і називаються відповідно дійсною (Real) і уявною (Imaginary) частинами .
    • Якщо , то називається уявним або чисто уявним.
  • Число називається модулем числа , часто його записують буквою або . Для дійсного числа модуль збігається з його абсолютною величиною. Деякі властивості модуля:
    1) , причому тоді і тільки тоді, коли
    2) (нерівність трикутника)
    3)
    4)
    З третьої властивості випливає , де . Дана властивість модуля разом з першими двома властивостями вводять на множені комплексних чисел структуру двовимірного нормованого простору над полем .
  • Кут такий, що: і , називається аргументом і позначається . Для комплексного нуля значення аргумента не визначене, для ненульового числа аргумент визначається з точністю до , де  — будь-яке ціле число. Головним значенням аргумента (позначається [2]) називається таке значення, що .
  • Оберненим до числа називають таке число, яке, при множенні на дає одиницю. Щоб знайти , чисельник і знаменник числа можна помножити на спряжене до комплексне число, і скористатись тим, що . Таким чином,

Спряжені числа[ред.ред. код]

Докладніше: Спряжені числа

Якщо комплексне число , то число називається спряженим (або комплексно спряженим) до .

Перехід до спряженого числа можна розглядати як одномісну операцію; перерахуємо її властивості.

  • (спряжене до спряженого є початкове)

Узагальнення: , де  — довільний комплексний многочлен.

  • (модуль спряженого числа такий же, як у вихідного)

Квадратні корені[ред.ред. код]

Ріманова поверхня для √z. По вертикалі відкладається дійсна частина функції. Щоб отримати поверхню, що відповідає уявній частині, треба розвернути фігуру на 180° навколо вертикальної осі

Якщо є комплексне число , то у рівняння є два корені: , де

і

де - функція, що дорівнює 1 для додатніх чисел і -1 для від'ємних.

Варто зазначити, що деякі з рівностей, що є вірними, якщо під знаком кореня стоять позитивні числа, не виконуються для комплексних коренів

  • (контрприклад - )
  • (контрприклад - )

Існує кілька розповсюджених хибних парадоксів, що виникають через неправильне використання квадратного кореня, наприклад

Корені більш високих ступенів[ред.ред. код]

корені п'ятого ступеня з одиниці

У загальному випадку, рівняння має n коренів(з врахуванням кратності). Якщо розташувати їх на комплексній площині, то можна побачити, що всі вони завжди рівномірно розташовані на колі з радіусом .

Зручним способом обрахувати ці корені є формула Муавра:

де k = 0, 1, …, n—1.

Для використання цієї формули число z має бути представлене в тригонометричній формі.

Зміст комплексних чисел[ред.ред. код]

Геометричний зміст[ред.ред. код]

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число можна ототожнити з точкою площини:

Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої користуються формулою:

,

де і  — дійсні числа, причому додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0.

(називається модулем числа ) — це відстань між точкою та початком координат.
(називається аргументом числа ) — кут (виражений у радіанах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком «мінус»).
,
,
,
Геометрична інтерпретація множення числа 2 + і(синій трикутник) на 3 + і(червоний трикутник)

Подання числа у тригонометричній формі єдине з точністю до цілої кількості повних обертів, які можна додавати до аргументу.

З використанням формули Ейлера можна переписати тригонометричну форму так:

.

Геометричний зміст зручний для інтерпретації операцій над комплексними числами. Так, додавання та віднімання комплексних чисел рівносильне відповідно додаванню та відніманню відповідних векторів. При множенні комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються (так що поворот навколо початку координат можна інтерпретувати як множення на певне комплексне число з одиничним модулем). При діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. При піднесенні комплексного числа до цілого степеня його модуль підноситься до цього ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня; це правило називається формулою Муавра і значно спрощує виконання піднесення комплексних чисел до великих степенів.

Комплексні числа, представлені в матричній формі[ред.ред. код]

Кожному комплексному числу (з дійсними та ) можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2-го порядку виду . Така відповідність задає ізоморфізм між системою комплексних чисел і системою матриць такого виду, якщо додаванню, відніманню та множенню комплексних чисел поставити у відповідність звичайні додавання, віднімання та множення матриць. Легко бачити, що в цьому представлені операції комплексного спряження відповідає транспонування матриці. Дійсна одиниця зображується як одинична матриця , а уявна одиниця — як .

Неважко прослідкувати, що справді вищезгадані арифметичні дії дають відповідні результати при виконанні їх над числами та над відповідними матрицями (що й доводить ізоморфність цих структур):

  1. , що відповідає дії .
  2. , що відповідає дії .

Як можна бачити, матриці, якими представляються комплексні числа є подібними до матриць повороту, тому множення комплексних чисел можна представити у геометричній формі як поворот в комплексній площині.

Узагальнення[ред.ред. код]

Процедура розширення множини в називається процедурою Келі-Діксона. Цю процедуру можна застосувати і до самих комплексних чисел, розширюючи їх множини до кватерніонів , октоніонів і седеніонів . Проте, застосування процедури до поля дійсних чисел призводить до втрати ним властивості впорядкованості, а при подальшому узагальненні втрачаються і деякі інші властивості - так, квартеніони втрачають властивість комутативності множення (таким чинов, множина кватерніонів є тілом), а октоніони - властивість асоціативності множення. Седеніони, згідно з теоремою Гурвіца, не є нормованими алгебрами, тобто в них не виконується рівняння (більш того, окрім , , і таких алгебр не існує).

Інший спосіб розширення пов'язаний з матричним представленням комплексних чисел - будь яке число може бути співвіднесене з матрицею

Але це не єдиний вид лінійних представлень комплексних чисел. Будь-яка матриця виду

має наступну властивість: , де Ι - одинична матриця. Таким чином, конструкція виду

також є ізоморфною полю , і породжує альтернативну структуру на полі . Ці структури можна узагальнити і формі комплексних структур на дійсному лінійному просторі.

Гіперкомплексні числа є ще одним способом генералізації комплексних чисел - наприклад, подвійні числа виду де дійсні числа;  — уявна одиниця, така що.

Ще більш широкими узагальненнями комплексних чисел можна вважати алгебри Кліфорда, побудовані на комплексних векторних просторах.

Фізичний зміст[ред.ред. код]

Довгий час комплексні числа вважалися абстрактною категорією, що не має застосування в реальному світі, проте за останні століття було знайдено багато випадків, коли фізичні величини, що представлені дійсними числами, якщо їх виразити через комплексні, стають значно зручнішими для розрахунків. Нижче наведено кілька найбільш значущих прикладів:

Електротехніка[ред.ред. код]

В електротехніці комплексні числа активно використовуються для розрахунку електричних ланцюгів змінного струму. В таких ланцюгах напруга і сила струму розглядаються як вектори, що обертаються у деякому фазовому просторі, зміщені один відносно іншого на 90°. Такі вектори природньо виражаються через комплексне число у формі Ейлера. Використання комплексних чисел дозволяє зручним способом додавати різні токи між собою.[3]

Квантова механіка[ред.ред. код]

В квантовій механіці частинки завжди мають хвильову природу, аж до моменту виміру, що провокує колапс хвильової функції. Для того щоб коректно представити це в математичній формі, вводиться комплексна функція, що називається хвильовою, що дозволяє виразити стан будь-якої квантової системи. [3]

Аеродинаміка[ред.ред. код]

Одна з найбільш важливих у аеродинаміці формул, перетворення Жуковського, що використовується для побудови оптимального профіля крила, є функцією комплексної змінної.

Теорія відносності[ред.ред. код]

Простір Мінковського, що є математичною інтерпретацією чотиривимірного простору-часу нашого Всесвіту, фактично має три дійсних і одну уявну координату. Перетворення Лоренца можна виразити як поворот у цьому просторі.

Теорія керування[ред.ред. код]

У теорії автоматичного керування, рівняння у комплексних числах потрібні для визначення стійкості системи - здатність системи, що автоматично керується, повертатися в сталий режим після деякого збурення.

Математичне застосування[ред.ред. код]

Окрім широкого застосування безпосередньо в теорії функції комплексної змінної, комплексні числа виникають у різноманітних областях математики

Фрактали[ред.ред. код]

Множина Мандельброта і множина Жюліа визначаються як області, на яких деяка ітераційно визначена послідовність комплексних чисел завжди буде мати скінченну верхню границю.

Теорія чисел[ред.ред. код]

Одна з проблем тисячоліття, гіпотеза Рімана, передбачає деяку форму розподілу нулів комплексної функції, що має назву дзета-функція Рімана. Цей розподіл виявляється тісно пов'язаним з розподілом простих чисел.

Історія[ред.ред. код]

Квадратні корені були відомі ще у давньому Вавилоні[4], проте всі давні автори або взагалі не розглядали квадратні корені з від'ємних чисел, або ж просто зазначали їх неможливість.

Вперше, мабуть, уявні величини з'явилися у відомій праці «Велике мистецтво, або про правила» алгебри Кардано (1545) під час розв'язку квадратного рівняння x2 - 10x + 40 = 0, який однак, визнав їх "беззмістовними, хоча і хитромудрими". Користь уявних величин, зокрема, при розв'язуванні кубічного рівняння, у випадку, коли дійсні корені многочлена виражаються через кубічний корінь з уявних величин, що не приводиться, вперше оцінив Бомбеллі (1572), хоча і він вважав комплексні числа даремною забавкою.

Вирази вигляду , що з'являються при розв'язуванні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати «уявними» в XVI—XVII століттях завдяки Декарту, що таким чином намагався підкреслити їх нереальність. В цілому, для багатьох вчених того часу, природа комплексних чисел була незрозумілою, а їх право на існування видавалося доволі сумнівним, втім, це ж можна сказати і про ірраціональні і навіть про від'ємні числа. Лейбніц, наприклад, писав: «Дух божий знайшов якнайтоншу віддушину в цьому диві аналізу, виродку з світу ідей, подвійній суті, що знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з від'ємної одиниці». Проте, той факт, що застосування методів роботи з раціональними числами давало логічні результати і для комплексних, давало математикам привід для більшої довіри.[5]

Довгий час було неясно, чи всі операції над комплексними числами приводять до комплексних результатів, або, наприклад, добування кореня може привести до відкриття якогось нового типу чисел. Задача про вираз кореня степеня n з даного числа була розв'язана в роботах Муавра (1707) і Котса (1722). Також Муавр помітив зв'язок між комплексними числами і тригонометричними функціями, завдяки чому він вивів відому формулу Муавра:

Символ запропонував Ейлер (1777, опубл. 1794), що узяв для цього першу букву слова лат. imaginarius. Він же розповсюдив всі стандартні функції, включаючи логарифм, на комплексну область, а також вивів формулу Ейлера, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Ейлер також висловив у 1751 році думку про замкнутість алгебри поля комплексних чисел. До такого ж висновку прийшов д'Аламбер (1747), але перший строгий доказ цього факту належить Гаусу (1799). Гаус ввів у загальний вжиток термін «комплексне число» в 1831 році, хоча цей термін раніше використовував в тому ж сенсі французький математик Лазар Карно в 1803 році, а також поняття "норми" a2 + b2.

Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними з'явилося вперше в роботі Каспара Весселя (1799). Перші кроки в цьому напрямі були зроблені Валлісом (Англія) в 1685 році. Сучасний геометричний зміст, іноді його ще називають «діаграмою Аргана», увійшов до вжитку після публікації в 1806-му і 1814-му роках роботи Аргана, що повторювала незалежно висновки Весселя. Саме Арганд ввів термін "модуль" для величини . Терміни "аргумент" і "спряжене число" ввів Коші.[6] Завдяки цим роботам, став зрозумілим тісний зв'язок між комплексними числами і векторною алгеброю.

У 1806 році Арган за допомогою комплексних чисел вперше опублікував строге доведення основної теореми алгебри - твердження про те, що буль-який многочлен над полем комплексних чисел має комплексний корінь.[7]

Арифметична модель комплексних чисел як пари дійсних чисел була побудована Гамільтоном (1837); це довело несуперечність їхніх властивостей.

Успішність моделі комплексних чисел як векторів на площині підштовхнула математиків до пошуків подібної репрезентації тривимірного простору. Ці пошуки не призвели до успіху, проте, у 1843 році Гамільтон відкрив кватерніони для випадку чотирьох вимірів, щоправда, відмовившись від властивості комутативності.

Примітки[ред.ред. код]

  1. У теорії електричних кіл, символ інколи заміняють на , щоб не плутати зі стандартним позначенням електричного струму ().
  2. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1967. — С. 14—15.(рос.)
  3. а б NOT OBSERVABLE COMPLEX NUMBERS IN THE ELECTRICAL ENGINEER AND THE PHYSICIST
  4. [1]
  5. An Imaginary Tale THE STORY OF i(англ.)
  6. [2]
  7. Біографія Жана Аргана (англ.)

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Конструктивні числа[en] | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Рекурсивні числа[en] | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Супердійсні числа[en] | Гіпердійсні числа[en] | Сюрреальні числа[en] | Номінальні числа | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність