Подвійний потенціальний бар'єр

Подвійний потенціальний бар'єр - симетрична двобар'єрна структура є базова для розуміння фізичних основ формування зонних діаграм, принципів роботи наноелектронних пристроїв та їх конструювання. В цій структурі спостерігається несподіване явище - резонансне тунелювання, при якому коефіцієнт проходження рівний одиниці. При тунелюванні крізь одиночний бар'єр коефіцієнт проникності є надзвичайно малий, порядку $10^{-6}$ . Здавалось би, добавка ще одного бар'єру тільки зменшить коефіцієнт проникності. Проте при певних значеннях енергії коефіцієнт проникності крізь двобар'єрну структуру рівний одиниці. У навчальній літературі розглянутий тільки частковий випадок такої структури з $\delta$ -бар'єрами. Імпенданса модель дозволяє отримати нові результати - аналітичні вирази для коефіцієнта відбиття та власних значень двобар'єрної структури.

Для двобар'єрної структури необхідно послідовно знаходити нормовані вхідні імпенданси $Z_{1}-Z_{3}$ на границях бар'єрів. Виконавши перетворення, знаходимо:

$Z_{3}=Z{\frac {Z^{3}A^{2}B-Z^{2}AB+2Z^{2}A-ZA^{2}+ZB-Z-AB}{-Z^{3}AB-Z^{2}A^{2}+Z^{2}B-Z^{2}-ZAB+2ZA+A^{2}B}}$

де $B=i\tan kb\,$ а $b$ - ширина потенційної ями. Коефіцієнт відбиття:

$R={\frac {1-Z_{3}}{1+Z_{3}}}={\frac {(1-Z^{2})[2Z+(Z^{2}+1)AB]A}{(Z^{4}+1)A^{2}B+2Z{[(Z^{2}+1)A-Z](1-B)-ZA^{2}}}}.$

Умова $R=0$ визначає вираз для власних значень:

$AB=-{\frac {2Z}{Z^{2}+1}},E>0,$

і $A=0$ , або $Z=1,E>V_{0}$ . Останні вирази відповідають власним значенням одиночного бар'єру. Можна відмітити, що при $E>0$ коефіцієнт відбиття $R=1$ .

Останній вираз перетворюється до вигляду:

$AB={\frac {r^{2}-1}{r^{2}+1}}$ ,

де $r={\frac {1-Z}{1+Z}}$ - коефіцієнт відбиття від стрибка потенціалу висотою $V_{0}$ . Таким чином, в рамках імпендансної моделі власні значення симетричної двобар'єрної структури визначаються відносним імпедансом бар'єру або коефіцієнтом відбиття від стрибка потенціалу. Цей вивід ілюструє фізичну наглядність імпендансної моделі.

При $m=m_{1}$ , із останнього виразу знаходимо

$tanh(\chi a)\tan kb\ ={\frac {2\eta }{1-\eta ^{2}}}={\frac {\sqrt {E(V_{0}-E)}}{E-0.5V_{0}}}$

де $\eta =\chi /k$ . В діапазоні тунелювання, який представляє найбільший інтерес, величина $\chi$ - реальна.

У випадку товстих бар'єрів, коли $\chi a\geq \;1,$ що відповідає $a\geq \;\lambda _{1}/\pi ,$ , $\chi a\approx \;1$ тоді останній вираз відповідає відомому виразу для потенціальної ями.

У випадку тонких бар'єрів $\chi a\ll \;2,$ $\tanh \chi a\ \approx \;\chi a$ останнє рівняння перетворюється до вигляду $\tan kb\ =k\hbar \;^{2}/[am(2E-V_{0})].$ Для $\delta -$ бар'єрів, які описуються функцією типу $\alpha \delta (x)$ (де $\alpha >0$ - константа), $V_{0}=\alpha a==0$ При цьому $\tan kb\ =-k\hbar \;^{2}/\alpha m,$ що збігається із стандартними моделями.

Перепишимо останнє рівняння у вигляді:

$0=cosh(\chi a)\cos kb\ -{\frac {1-\chi ^{2}}{2\chi }}sinh(\chi a)sin(kb)$

Права частина цього рівняння - дисперсійна характеристика періодичної надрешітки (НР), створеної бар'єрами що чередуються разом із ямамами. Дисперсійна характеристика періодичної $E(K)$ , де $K$ - блохівське хвильове число, являють собою зонний енергетичний спектр НР. В лівій частині дисперсійної характеристики стоїть $cos(K\Lambda )$ , де $\Lambda =a+b$ - період структури. На границях заборонених зон $|\cos K\Lambda |=1$ , або $K\Lambda =n_{3}\pi (n_{3}=1,2,...-$ номер забороненої зони). Останній вираз відповідає значенням дисперсійної характеристики поблизу середин дозволених енергетичних зон при $\cos K\Lambda =0$ , або $K\Lambda =(2n_{p}-1)\pi /2(n_{p}=1,2,...-$ номер дозволеної зони). Приведені умови для $K\Lambda$ в заборонених і дозволених зонах відповідає синфазній та протифазній інтерференції відбитих хвиль. Протифазна інтерференція відповідає резонансному тунелюванню електронів (РТЕ). Таким чином, отриманий вираз для власних значень двобар'єрної структури - базової комірки НР - має безпосередній зв'язок із дисперсійною характеристикою НР.

Перепишемо передостанній вираз у вигляді

$thg(p\pi x)\tan \pi x\ ={\frac {\sqrt {\quad {\check {E}}|\quad {\check {E}}-1}}{\quad {\check {E}}-0,5}}$

$thg(x)={\begin{cases}\tanh x\,&\quad {\check {E}}<1\\\tan x\,&\quad {\check {E}}\geq \;1\end{cases}}$

Тут $x=kb/\pi ;p=|\quad {\check {E}}^{-1}-1|^{1/2}a/b$ . Оскільки $x=2b/\lambda$ ( $\lambda$ - довжина хвилі електрону в області потенціальної ями), то $x=1,2,...-$ число напівхвиль електрону, які вкладаються в потенційній ямі. Із врахуванням залежності $k$ від $E$ маємо $x(E)=x(V_{0})\quad {\check {E}}^{1/2}$ , де $x(V_{0}))={\sqrt {2mV_{0}}}b/\pi \hbar \;$ .

Можна подати у вигляді графіка залежність $\quad {\check {E}}$ від $x$ , а також $x(\quad {\check {E}})$ , при $a=b,$ та $x(V_{0})=2$ . У всьому діапазоні власні значення змінюються від величин, приблизно рівних власним значенням потенціальної ями структури, до величин, які визначаються умовою взаємної компенсації чотирьох хвиль, відбитих від кожного стрибка потенціалу структури: $x=n/4,n=1,3,...$ Діапазон $\quad {\check {E}}<1$ відповідає РТЕ. Повний спектр власних значень двобар'єрної структури включає також власні значення одиночного бар'єру у вигляді вертикальних ліній, розташованих в точках $x=1,2,...$ в діапазоні $\quad {\check {E}}>1$ .

Точки пересічення залежностей 1 та 2 визначають власні значення, рівні $\quad {\check {E}}=0,14$ та $\quad {\check {E}}=0,54$ , при $x(V_{0})=2$ . Такому значенню $x(V_{0})$ відповідають такі параметри: $V_{0}=0,24$ , $a=b=25$ А, $m=m_{1}=m_{0}$ .

Якщо подати залежність $lg(T)$ від $\quad {\check {E}}$ при $x(V_{0})=2$ , то значення $\quad {\check {E}}_{1}$ та $\quad {\check {E}}_{2}$ відповідають тим самим значенням, що і в першій площині. Одиночний бар'єр в порівнянні з бар'єром структури мають подвоєну товщину і відповідають двох бар'єрній структурі без потенціальної ями. Таким чином, вдалині від власних значень двобар'єрної структури, потенціальна яма практично не впливає на прохідну хвилю.