| Ця стаття потребує істотної переробки. Можливо, її необхідно доповнити, переписати або вікіфікувати. Пояснення причин та обговорення — на сторінці Вікіпедія: Статті, що необхідно поліпшити.
Тому, хто додав шаблон: зважте на те, щоб повідомити основних авторів статті про необхідність поліпшення, додавши до їхньої сторінки обговорення такий текст: {{subst:поліпшити автору|Алгебраїчна тотожність Біанкі|21 березня 2023}} ~~~~, а також не забудьте описати причину номінації на підсторінці Вікіпедія:Статті, що необхідно поліпшити за відповідний день. (21 березня 2023) |
Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:
![{\displaystyle (1)\qquad R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299cd9420ab35fe867d86e3f1600f415805668e9)
яка називається алгебраїчною тотожністю Біанкі.
Варіанти запису алгебраїчної тотожності Біанкі
Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):
![{\displaystyle (1a)\qquad R_{isjk}+R_{jski}+R_{ksij}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d662b8788fdcd02dc69453261b002bc66fbd7d)
Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:
![{\displaystyle (1b)\qquad R_{jkis}+R_{kijs}+R_{ijks}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8865c96b51b5d390b0c026da3351fca14b4376d)
Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.
Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:
![{\displaystyle (1c)\qquad R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f6322b23cef6d33105727109006acbb02c7622)
Підготовка доведення
Нехай ми маємо величину з трьома індексами
яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):
![{\displaystyle (2)\qquad s_{ij,k}=s_{ji,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b853a2a5ff2ebb7528c46c08a6c3ffa39251fa)
З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:
![{\displaystyle (3)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03f56a30896f36c90a869455c58c946cb1c4984)
Тоді легко перевірити, що сума компонент
при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:
![{\displaystyle (4)\qquad a_{i,jk}+a_{j,ki}+a_{k,ij}=s_{ij,k}-s_{ik,j}+s_{jk,i}-s_{ji,k}+s_{ki,j}-s_{kj,i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481e25e22638938638c1b09bb4834d784da6483b)
Цей хід викладок не зміниться, якщо величина
матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.
Доведення виходячи із представлення через символи Крістофеля
Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:
![{\displaystyle (5)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34443b95334604b0fe86c5876511050d9981edbd)
Якщо ми позначимо:
![{\displaystyle (6)\qquad s_{ij,k}=-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78dd716d8747027ca4ac7446b800989ac91ba48)
то
![{\displaystyle (7)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}=R_{\;ijk}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e702b7c59814df85f5e54373e1e9f870f23cca7e)
і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).
Доведення виходячи із представлення через вектори повної кривини
Запишемо тензор Рімана:
![{\displaystyle (8)\qquad R_{sijk}=(\mathbf {b} _{sj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a13ce7658369f4ef9cecc89ae7b187b0f4837b5)
В цьому випадку
![{\displaystyle (9)\qquad s_{ij,k}=-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0f6020bd73c3f7d37ac454b0aba9abfe7d56d)
а далі все аналогічно попереднім викладкам.
Доведення через коваріантні похідні
Нехай и маємо довільне скалярне поле
. Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:
![{\displaystyle (10)\qquad \phi _{i}=\nabla _{i}\phi =\partial _{i}\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c3a99edb1423e7981456c74d2fe08650f9985d)
![{\displaystyle (11)\qquad \phi _{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\phi =\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\phi _{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7052dad3c044b7203f9e984a1fffe6e2fb53a46e)
Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.
Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом
дорівнює:
![{\displaystyle (12)\qquad R_{\;ijk}^{s}\phi _{s}=[\nabla _{k}\nabla _{j}]\phi _{i}=\nabla _{k}\phi _{ij}-\nabla _{j}\phi _{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3164dcb3a4fe2679f87feec24debbd1a52e320)
В цьому випадку:
![{\displaystyle (13)\qquad s_{ij,k}=\nabla _{k}\phi _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d18803cae7f533065be4ad4572f826a33567c4)
і ми одержуємо тотожність:
![{\displaystyle (14)\qquad \left(R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}\right)\phi _{s}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abff2a3e3523d8115ddbb0e7561aad6ff843e7d)
Оскільки функція
довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат (
— фіксований індекс):
![{\displaystyle (15)\qquad \phi =u^{\alpha },\qquad \phi _{s}=\delta _{s}^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baacc9f958fa7fff5e7d026aa90aa0c91a41dccf)
Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).
Антисиметризація тензора Рімана
Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора
-рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:
![{\displaystyle (16)\qquad A_{i_{1}\dots i_{m}}={1 \over m!}g_{i_{1}\dots i_{m}}^{j_{1}\dots j_{m}}T_{j_{1}\dots j_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f05a86c46d0c98056148b8b9ec4dcebbf5d82b9)
Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.
Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:
![{\displaystyle (17)\qquad A_{sijk}={1 \over 4!}g_{sijk}^{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{s_{1}}\delta _{i}^{s_{1}}\delta _{j}^{s_{1}}\delta _{k}^{s_{1}}\\\delta _{s}^{i_{1}}\delta _{i}^{i_{1}}\delta _{j}^{i_{1}}\delta _{k}^{i_{1}}\\\delta _{s}^{j_{1}}\delta _{i}^{j_{1}}\delta _{j}^{j_{1}}\delta _{k}^{j_{1}}\\\delta _{s}^{k_{1}}\delta _{i}^{k_{1}}\delta _{j}^{k_{1}}\delta _{k}^{k_{1}}\end{vmatrix}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e679a0ecdbf8aa5c943d83803dadd6d4eb1540)
При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів
, причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:
![{\displaystyle (18)\qquad A_{sijk}={1 \over 24}\left((R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})-(R_{sjik}+R_{sikj}+R_{skji})+\dots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a58906269b2ac97fa7c2918954b74bb929bbdd1)
Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:
![{\displaystyle (19)\qquad A_{sijk}={1 \over 3}(R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8bf3e877a294a5b93cc732f0a50f69915e0004)
Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.
Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини
Якщо
— розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:
![{\displaystyle (20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56735dbff27798d39705cfb7dfae4e641337f429)
Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:
![{\displaystyle (21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730194116aa99f69d13e1fe2ca3dbd3522726416)
Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу
:
![{\displaystyle (22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae93ea198b4bf3c90c8ff921ca221e708733d661)
(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли
)
Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:
![{\displaystyle (23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{2}(n^{2}-1) \over 12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c312c7e1706cfedf2d39c20d76a9c9290a7130)
Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів
формулу:
![{\displaystyle (24)\qquad R_{ijij}=k^{(i)}k^{(j)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b4007e14e2f5ca1766d83b520255f423b41eff)
а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з
по 2, тобто:
![{\displaystyle (25)\qquad N_{hypersurface}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8bd51c28e48a4a2b3cfa2309c2b115b59b63cb)
Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини
Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів
:
![{\displaystyle (26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{ijkl}\sigma ^{ij}\sigma ^{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d569df63845bcc47d3d5a43dde7183f3fb02aec)
Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через Симетричний тензор внутрішньої кривини.