Степінь многочлена

Степінь многочлена — це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.

Приклади

• Многочлен $\ 3-5x+2x^{5}-7x^{9}$ має степінь 9.
• Многочлен $\ (y-3)(2y+6)(-4y-21)$ має степінь 3.
• Многочлен $\ (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ має степінь 5.

Щоб визначити степінь многочлена, його потрібно звести до канонічного вигляду, тобто розкрити всі дужки у виразі та звести подібні члени, тобто знайти суму коефіцієнтів при членах однакового степеня. Зазвичай (але не обов'язково) члени також впорядковуються за спаданням степенів. Наприклад, зведемо до канонічного вигляду вищенаведені многочлени:

• для $3-5x+2x^{5}-7x^{9}$ після зміни порядку матимемо $-7x^{9}+2x^{5}-5x+3$;
• для $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ після розкриття дужок та зведення членів з однаковим степенем матимемо $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$;
• для $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ два подібні члени степеня 8 зникають, маємо $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$.

Поведінка при додаванні, відніманні та множенні

Степінь суми (або різниці) двох многочленів або дорівнює найбільшому із степенів доданків, або менший від нього у випадку, коли члени з найбільшими степенями зникають.

$\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))$.

$\deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))$.

Наприклад:

• Степінь $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ дорівнює 3.

Зауважте, що 3 ≤ max(3,2)

• Степінь $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ дорівнює 2.

Зауважте, що 2 ≤ max(3,3)

Степінь добутку двох многочленів дорівнює сумі їхніх степенів

$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

Наприклад:

• Степінь $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ дорівнює 3+2 = 5.

Степінь нульового многочлена

Многочлен $f(x)=0$ називають нульовим многочленом. Він не має жодного члена, тому, строго кажучи, він не має степеня. Вищенаведені правила про степені сум та добутків не можна застосовувати, якщо один з многочленів є нульовим.

Однак є зручним визначити степінь нульового многочлена як мінус нескінченність, $-\infty$, і домовитися, що

$\ \max(a,-\infty )=a$,

і

$\ a+-\infty =-\infty$.

Наприклад:

• Степінь суми $\ (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ дорівнює 3.

Зауважте, що $3\leq \max(3,-\infty )$.

• Степінь різниці $\ x-x=0$ дорівнює $-\infty$.

Зауважте, що $\ -\infty \leq \max(1,1)$.

• Степінь добутку $\ (0)(x^{2}+1)=0$ дорівнює $\ (-\infty )+2=-\infty$.

Узагальнення на випадок многочленів з кількома змінними

Для многочленів з кількома змінними степінь члена визначається як сума степенів змінних, що входять до цього члена; тоді степінь многочлена знову-таки визначається як максимум із степенів всіх його членів. Наприклад, многочлен $x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y$ має степінь 4 - це степінь члена $x^{2}y^{2}$.

Формули для степенів суми, різності й добутку многочленів залишаються справедливими для многочленів з кількома змінними.

Назви многочленів за степенем

• Степінь 1 - лінійний многочлен
• Степінь 2 - квадратичний многочлен
• Степінь 3 - кубічний многочлен

Джерела

• Степінь - Орфографічний академічний словник української мови