Степінь многочлена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Степінь многочлена — це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.

Приклади[ред.ред. код]

  • Многочлен має степінь 9.
  • Многочлен має степінь 3.
  • Многочлен має степінь 5.

Щоб визначити степінь многочлена, його потрібно привести до канонічного вигляду, тобто розкрити всі дужки у виразі та привести подібні члени, тобто знайти суму коефіцієнтів при членах однакового степеня. Звичайно (але необов'язково) члени також впорядковуються за убуванням степенів. Наприклад, приведемо до канонічного вигляду вищенаведені многочлени:

  • для після зміни порядку матимемо ;
  • для після розкриття дужок та збирання членів з однаковим степенем матимемо ;
  • для два подібні члени степеня 8 зникають, маємо .

Поведінка при додаванні, відніманні та множенні[ред.ред. код]

Степінь суми (або різниці) двох многочленів або дорівнює найбільшому із степенів доданків, або менша від нього у випадку, коли члених з найбільшими степенями скорочуються.


.
.

Наприклад:

  • Степінь дорівнює 3.

Зауважте, що 3 ≤ max(3,2)

  • Степінь дорівнює 2.

Зауважте, що 2 ≤ max(3,3)

Степінь добутку двох многочленів - це сума їхніх степенів

.

Наприклад:

  • Степінь дорівнює 3+2 = 5.

Степінь нульового многочлена[ред.ред. код]

Многочлен називають нульовим многочленом. Він не має жодного члена, тому, строго кажучи, він не має степеня. Вищенаведені правила про степені сум та добутків не можна застосовувати, якщо один з многочленів є нульовим.

Однак є зручним визначити степінь нульового многочлена як мінус нескінченність, , і домовитися, що

,

і

.

Наприклад:

  • Степінь суми дорівнює 3.

Зауважте, що .

  • Степінь різниці дорівнює .

Зауважте, що .

  • Степінь добутку дорівнює .

Узагальнення на випадок многочленів з кількома змінними[ред.ред. код]

Для многочленів з кількома змінними степінь члена визначається як сума степенів змінних, що входять до цього члена; тоді степінь многочлена знову-таки визначається як максимум із степенів всіх його членів. Наприклад, многочлен має степінь 4 - це степінь члена .

Формули для степенів суми, різності й добутку многочленів залишаються справедливими для многочленів з кількома змінними.

Назви многочленів за степенем[ред.ред. код]

  • Степінь 1 - лінійний многочлен
  • Степінь 2 - квадратичний многочлен
  • Степінь 3 - кубічний многочлен