Regelmäßiges Neunzehneck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
Das regelmäßige Neunzehneck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel z. B. den Tomahawkarchive copy at the Wayback Machine, die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. In der einschlägigen Literatur sind keine Näherungskonstruktionen hierfür zu finden.
Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
Nach dem Zeichen des Quadrates z. B. mit der Seitenlänge und der Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterkurve :
mit
wird die Strecke in neunzehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.
Der Zentriwinkels des Neunzehnecks ergibt sich aus aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab bis in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Neunzehntel der Strecke kann nur ein Neunzehntel des Winkels erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels aus dem Umkreis mit seinen das Vierfache eines Neunzehntels, d. h. der Teilungspunkt der Strecke zur Konstruktion des Zentriwinkels genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ab bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt . Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel durch bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt . Die Länge der Strecke ist die exakte Seitenlänge des regelmäßigen Neunzehneck.
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