Функція Веєрштраса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції Вейерштрасса на інтервалі [-2, 2]. Цей графік має фрактальний характер: збільшення (у червоному колі) подібне до всього графіка.

Функція Вейерштрасса — приклад неперервної функції, яка ніде не має похідної; контрприклад для гіпотези Ампера.

Функція Вейерштрасса задається на всій дійсній прямій єдиним аналітичним виразом:

,

де — довільне непарне число, а — додатне число, менше одиниці. Цей функціональний ряд мажорується рядом

,

тому функція визначена і неперервна при всіх дійсних . Проте ця функція не має похідної принаймні при

.

Для доведення відсутності похідної в довільній точці , будують дві послідовності і , що збігаються в точці , та доводять, що відношення

і

мають різні знаки принаймні за

і .

Для побудови зазначених послідовностей попередньо визначають такі цілі числа , щоб різниця

лежала між та , а потім вважають, що

і .

Відсутність похідної у всіх точках за загальніших умов

та

була встановлено Харді. [1]

Історична довідка[ред.ред. код]

У 1806 році Ампер [2] зробив спробу довести аналітично, що всяка «довільна» функція диференційована всюди, за винятком «виняткових та ізольованих» значень аргументу. При цьому приймалося за очевидне можливість розбиття інтервалу зміни аргументу на частини, в яких функція була б монотонною. З цими зауваженнями гіпотезу Ампера можна розглядати як несуворе формулювання теореми Лебега [3]. У першій половині XIX століття робилися спроби довести гіпотезу Ампера для більш широкого класу, саме для всіх безперервних функцій. У 1861 році Ріман навів своїм слухачам як контрприклад таку функцію

;

проте дослідження диференційованості цієї функції надзвичайно складне. У 1970 році Дж. Джевер довів, що ця функція все ж має похідну в деяких раціональних точках. У 1872 році Вейерштрас зазначив простіший контрприклад — введену вище функцію та надав суворе доведення її недиференційованності. [4] У пресі цей приклад вперше з'явився у 1875 році в роботі Дюбуа-Реймона [5]. Ще простіший приклад належить ван дер Вардену (1930):

,

де фігурні дужки означають дробову частину. [6]

Література[ред.ред. код]

  • Weierstrass K. Math. Werke . Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
  • Рісс. Ф., С.-Надь Б.Лекції з функціонального аналізу.М.: Мир, 1979.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Hardy G. H. Weierstrass's nondifferentiable function / / Trans - Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301-325. Втім і Вейерштрасс згадував це твердження в листі до Дюбуа-Реймону у 1873 році, див.: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
  2. Ampère, AM / / Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  3. Рісс. Ф., С.-Надь Б. Лекції з функціонального аналізу. М.: Мир, 1979. С. 13.
  4. Доповідь Вейерштрасса, прочитана в Пруській академії наук 18 липня 1872 р., опублікована в зібранні творів (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
  5. Du Bois-Reymond R. //J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Вейерштрасс був редактором цього журналу і повідомив про свій контрприклад в листі до Дюбуа-Реймону 23 листопада 1873 р., див: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
  6. Van der Waerden B.L.//Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474-475.