Послідовність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Послідовність (математика))
Перейти до: навігація, пошук

Послідо́вність — функція визначена на множині натуральних чисел яка набуває значення на об'єктах довільної природи. .

Записується у вигляді , чи коротко . Елементи називаються членами послідовності.

Можна розглядати послідовність як впорядковану (занумеровану натуральними числами) множину її членів.

В залежності від типу елементів, послідовності поділяють на числові та функціональні.

Наприклад: послідовність дійсних чисел — числова послідовність, яка набуває дійсних значень.

Скінченна послідовність[ред.ред. код]

Вище було наведено означення нескінченної послідовності. Послідовність може визначатись на скінченній підмножині натуральних чисел, тоді вона називається скінченною. Кількість членів послідовності називають довжиною послідовності.

Скінченна послідовність на відміну від нескінченної має скінченну довжину. Також для скінченних послідовностей використовується інше позначення: . В даному випадку i — лічильник, а n — кількість елементів.


Числова послідовність[ред.ред. код]

Числова́ послідо́вність  — послідовність дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число . Число називають елементом або членом послідовності.

Послідовною називають функцію, яка задана на множині всіх або перших n натуральних чисел.

Числа, які утворюють послідовність називають членами послідовності.

Якщо послідовність має скінченне число членів, то її називають скінченною послідовністю.

Якщо послідовність має нескінченне число членів, то її називають нескінченною послідовністю, а у записі це показують трьома крапками після останнього записаного члена послідовності.

У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають малими буквами з індексами внизу. Кожний індекс вказує порядковий номер члена послідовності.

Щоб задати послідовність, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який його член.

  1. Послідовність можна задати описом знаходження її членів.
  2. Скінченну послідовність можна задати переліком її членів.
  3. Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.
  4. Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер.
  5. Спочатку вказати перший або кілька перших членів послідовності, а потім — умову, за якою можна визначити будь-який член послідовності за попереднім. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним.

Приклади[ред.ред. код]


Нескінченно мала послідовність[ред.ред. код]

Послідовність {}називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатнього числа ε, можна вказати таке натуральне число N, що при n≥N, всі елементи {} задовольняють нерівність ||<ε

Основні властивості нескінченно малих послідовностей[ред.ред. код]

  1. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
  2. Різниця двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
  3. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
  4. Добуток нескінченно малої послідовності на дійсне число є нескінченно мала послідовність.
  5. Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному числу c, то це число рівне нулю. ( c=0 )
  6. Якщо елементи {} нескінченно великої послідовності відмінні від нуля, то послідовність {} є нескінченно малою.


Нескінченно велика послідовність[ред.ред. код]

Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого додатнього числа A, знайдеться натуральне число N, що для n≥N, всі елементи будуть задовольняти нерівність

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.