Ряд (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Числовий ряд числова послідовність, яку розглядають разом з іншою послідовністю, котра називається послідовністю часткових сум(ряду).

Розглядуються числові ряди двох видів: • Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі; • Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі; Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду[ru].

Визначення[ред.ред. код]

Нехай  числова послідовність; розглянемо нарівні с даною послідовністю послідовність

кожен елемент якої уявляє собою суму перших k членів вихідної послідовності, що називається частковою сумою виду:

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Взагалі, для позначення ряду використовується символ:

оскільки тут вказана вихідна послідовність елементів ряду, а також правило підсумовування. Відповідно до цього, говориться про збіжність числового ряду:

  • Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя послідовності його часткових сум має назву суми ряду[ru]:

Операції над рядами[ред.ред. код]

Нехай задані ряди і , що збігаються. Тоді:

• Їх сумою називається ряд

• Їх добутком за Коші називається ряд , де

Якщо обидва ряди збігаються, то їх сума збігається. Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Критерій абсолютної збіжності[ред.ред. код]

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Література[ред.ред. код]

  • В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I.. — М.: Наука,, 1981.. — С. С. 104—114..
  • Ю. С. Богданов «Лекции по математическому анализу» — Часть 2. — Минск : Издательство БГУ им. В. И. Ленина, 1978..