Ряд (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Числовий ряд числова послідовність, яку розглядають разом з іншою послідовністю, котра називається послідовністю часткових сум(ряду).

Розглядуються числові ряди двох видів: • Дробові числові ряди — вивчаються в математичному аналізі; • Комплексні числові ряди — вивчаються в комплексному аналізі; Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються в якості системи наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду[ru].

Визначення[ред.ред. код]

Нехай  \{a_i\}_{i=1}^{\infty}числова послідовність; розглянемо нарівні с даною послідовністю послідовність

\{s_k\}_{k=1}^{\infty},

кожен елемент якої уявляє собою суму перших k членів вихідної послідовності, що називається частковою сумою виду:

s_k=\sum_{i=1}^{k}a_i.

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Взагалі, для позначення ряду використовується символ:

\sum_{i=1}^{\infty}a_i,

оскільки тут вказана вихідна послідовність елементів ряду, а також правило підсумовування. Відповідно до цього, говориться про збіжність числового ряду:

  • Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя S послідовності його часткових сум має назву суми ряду[ru]:

S=\sum_{i=1}^{\infty}a_i,

Операції над рядами[ред.ред. код]

Нехай задані ряди \sum_{n=0}^\infty a_n і \sum_{n=0}^\infty b_n, що збігаються. Тоді:

• Їх сумою називається ряд \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n)

• Їх добутком за Коші називається ряд \sum c_n, де  c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

Якщо обидва ряди збігаються, то їх сума збігається. Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Критерій абсолютної збіжності[ред.ред. код]

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Література[ред.ред. код]

  • В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. . — М.: Наука,, 1981. . — С. С. 104—114. .
  • Ю. С. Богданов  «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 . — Минск  : Издательство БГУ им. В. И. Ленина , 1978..