Ряд (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Числовий ряд числова послідовність, яку розглядають разом з іншою послідовністю, котра називається послідовністю часткових сум (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів:

Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду[ru].

Довгий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено із виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахіла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить вслід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким чином такого моменту не існує. Зено розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, таким чином, що загальний час за який Ахілл добіжить до черепахи заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом за який Ахілл наздожене і упіймає черепаху.

В сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність із термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді наступного математичного виразу

або, із використанням знаку суми,

У загальному випадку поняття ряду виникло із поняття кільця, що часто є полем дійсних чисел або полем комплексних чисел. В такому випадку множина всіх рядів сама по собі є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), в якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші[en].

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай   — числова послідовність; розглянемо нарівні с даною послідовністю послідовність

кожен елемент якої уявляє собою суму перших k членів вихідної послідовності, що називається частковою сумою виду:

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Взагалі, для позначення ряду використовується символ:

оскільки тут вказана вихідна послідовність елементів ряду, а також правило підсумовування. Відповідно до цього, говориться про збіжність числового ряду:

  • Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя послідовності його часткових сум має назву суми ряду:

Операції над рядами[ред. | ред. код]

Нехай задані ряди і , що збігаються. Тоді:

  • Їх сумою називається ряд
  • Їх добутком за Коші називається ряд , де

Якщо обидва ряди збігаються, то їх сума збігається. Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Критерій абсолютної збіжності[ред. | ред. код]

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Приклади числових рядів[ред. | ред. код]

  • Геометричний ряд це такий ряд, в якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що називається сталим відношенням ряду). Наприклад:
В загальному випадку, геометричний ряд
збігається, тоді і тільки тоді, коли .
  • Арифметично-геометричний ряд це узагальнення геометричного ряду, коефіцієнти сталого відношення якого дорівнюють елементам в арифметичній прогресії. Наприклад:
Гармонічні ряди є розбіжними.
  • Знакозмінний ряд це ряд в якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:
(знакозмінний гармонічний ряд)

і

  • Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:
збігається коли p > 1 і є розбіжним коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є Дзета-функцією Рімана.
збігається якщо послідовність bn збігається до границі L при тому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b1L.

π[ред. | ред. код]

Апроксимація числа π за допомогою ряду

Натуральний логарифм двійки 2[ред. | ред. код]

Натуральний логарифм з основою e[ред. | ред. код]

Докладніше: e (число)

Література[ред. | ред. код]

  • В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука,, 1981. — С. С. 104—114.
  • Ю. С. Богданов. «Лекции по математическому анализу» — Часть 2. — Минск : Издательство БГУ им. В. И. Ленина, 1978.