Зв'язність (некомутативна геометрія)

Геометрія квантових систем (наприклад, некомутативна геометрія і супергеометрія) може бути сформульована в алгебричних термінах модулів і алгебр. Зв'язність на модулях узагальнює лінійну зв'язність на векторних розшаруваннях $E\to X$, записану як зв'язність на $C^{\infty }(X)$-модулі перетинів$E\to X$.

Комутативна геометрія

Нехай $A$ — комутативне кільце і $P$ — $A$-модуль. Існують кілька еквівалентних означень зв'язності на $P$. Нехай $D(A)$ — модуль диференціювань кільця $A$. Зв'язність на $A$-модулі $P$ визначається як морфізм $A$-модулів

$\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),$

такий що диференціальні оператори першого порядку $\nabla _{u}$ на $P$ задовольняють правилу Лейбніца

$\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.$

Зв'язність на модулі над комутативним кільцем завжди існує. Кривина зв'язності $\nabla$ визначається як диференційний оператор нульового порядку

$R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.$

На модулі $P$ для всіх $u,u'\in D(A)$.

Якщо $E\to X$ — векторне розшарування, існує взаємно однозначна відповідність між лінійними зв'язністями $\Gamma$ на $E\to X$ і зв'язностями $\nabla$ на $C^{\infty }(X)$-модулі перетинів $E\to X$. При цьому, $\nabla$ відповідає коваріантному диференціалу зв'язності на $E\to X.$

Література

• Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
• Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
• Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.