Дериваційні формули Вайнґартена

Дериваційні формули Вейнгартена — формули, що показують зв'язок між похідною одиничного вектора нормалі двовимірної поверхні з першими похідними радіус-вектора цієї поверхні. Встановлені Вайнґартеном (1861).

Якщо ${\bar {r}}={\bar {r}}(u,v)$ — радіус-вектор поверхні, ${\bar {n}}$ — одиничний вектор нормалі, а $E,F,G$ і $L,M,N$ — коефіцієнти відповідно першої і другої квадратичних форм поверхні, то дані формули мають вигляд:

${\bar {n}}_{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{v}$

і

${\bar {n}}_{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}{\bar {r}}_{v}$

Компактно можна записати використовуючи індексний запис

$\partial _{a}\mathbf {n} =K_{a}^{~b}\mathbf {r} _{b},$

де K_ab — це компоненти тензора кривини поверхні.

Література

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956. (рос.)