Друга квадратична форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Друга квадратична форма в диференціальній геометрії це квадратична форма на дотичній площині гладкої поверхні в тривимірному евклідовому просторі, зазвичай позначається \mathrm{I\!I}. Разом з першою фундаментальною формою, вона використовується для визначення зовнішніх інваріантів поверхні та її головних кривин. Поняття другої квадратичної форми узагальнюється на гладкі гіперповерхні в рімановому многовиді.

Випадок поверхні в R3[ред.ред. код]

Мотивація[ред.ред. код]

Друга фундаментальна форма параметрично заданої поверхні S в R3 була введена і вивчена Гаусом. Припустимо спочатку, що графіком поверхні є двічі безперервно диференційована функція z = f(x,y), і, що площина z = 0 буде дотичною площиною до поверхні в початку координат. Тоді f і його часткова похідна s по відношенню до x і y обернеться в нуль в (0,0). Таким чином, ряд Тейлора функції f в точці (0,0) починається з квадратичних членів:

 z=L\frac{x^2}{2} + Mxy + N\frac{y^2}{2} +\ \ доданки вищого порядку

і друга фундаментальна форма на початку координат в координатах x, y є квадратична форма

 L \, \text{d}x^2 + 2M \, \text{d}x \, \text{d}y + N \, \text{d}y^2. \,

Для гладкої точки P на S, можна вибрати систему координат таким чином, щоб площина z=0 проходила була дотичною до поверхні S в точці P, тому можна визначити другу фундаментальну форму таким же чином.

Класичний запис[ред.ред. код]

Друга фундаментальна форма загальної параметрично заданої поверхні визначається наступним чином. Нехай r = r(u,v) буде регулярною параметризацією поверхні в R3, де r є гладкою вектор-функцією від двох змінних. Вона є спільною для часткових похідних r по u і v, які позначаються як ru і rv. Регулярність параметризації ru і rv, означає, що вони лінійно незалежні для будь-якої точки (u,v) в області r, і, отже, породжують дотичну площину S в кожній точці. Це рівнозначно тому, що векторний добуток ru × rv буде ненульовим вектором нормалі до поверхні. Таким чином, параметризація визначає поле одиничного вектора нормалі n:

\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|}.

Друга квадратична форма n-мірної поверхні[ред.ред. код]

Друга квадратична форма n-мірної поверхні, вкладеної в простір \mathbb{R}^{n+1}, — квадратична форма, що задає нормальну кривину. Нехай \bold{n} — нормальний вектор в точці P, а \bold{r}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+1} — локальна карта поверхні в точці P.Тоді друга квадратична форма обчислюється за формулою q_{ij}=\left(\bold{n},\frac{\partial^2 \bold{r}}{\partial x^i \partial x^j}\right).

Нормальна кривина k_n за напрямом \bold{u} обчислюється за формулою \frac{q(\bold{u},\bold{u})}{g(\bold{u},\bold{u})}, де g — перша квадратична форма.

Теорема. Всі лінії на поверхні, що проходять через точку М поверхні із загальною дотичній мають одну і ту ж нормальну кривину. Відзначимо також, що в так званих Нормальних перетинах поверхні, що проходять через вектор нормалі, напрям цього вектора збігається з напрямком головної нормалі до лінії на поверхні, що лежить в цьому перетині, так що нормальна кривина збігається з кривиною цієї лінії. Зазвичай радіус кривини нормального перетину поверхні береться з протилежним знаком.