Друга квадратична форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Друга квадратична форма в диференціальній геометрії це квадратична форма на дотичній площині гладкої поверхні в тривимірному евклідовому просторі, зазвичай позначається . Разом з першою фундаментальною формою, вона використовується для визначення зовнішніх інваріантів поверхні та її головних кривин. Поняття другої квадратичної форми узагальнюється на гладкі гіперповерхні в рімановому многовиді.

Випадок поверхні в R3[ред.ред. код]

Мотивація[ред.ред. код]

Друга фундаментальна форма параметрично заданої поверхні S в R3 була введена і вивчена Гаусом. Припустимо спочатку, що графіком поверхні є двічі безперервно диференційована функція z = f(x,y), і, що площина z = 0 буде дотичною площиною до поверхні в початку координат. Тоді f і його часткова похідна s по відношенню до x і y обернеться в нуль в (0,0). Таким чином, ряд Тейлора функції f в точці (0,0) починається з квадратичних членів:

доданки вищого порядку

і друга фундаментальна форма на початку координат в координатах x, y є квадратична форма

Для гладкої точки P на S, можна вибрати систему координат таким чином, щоб площина z=0 проходила була дотичною до поверхні S в точці P, тому можна визначити другу фундаментальну форму таким же чином.

Класичний запис[ред.ред. код]

Друга фундаментальна форма загальної параметрично заданої поверхні визначається наступним чином. Нехай r = r(u,v) буде регулярною параметризацією поверхні в R3, де r є гладкою вектор-функцією від двох змінних. Вона є спільною для часткових похідних r по u і v, які позначаються як ru і rv. Регулярність параметризації ru і rv, означає, що вони лінійно незалежні для будь-якої точки (u,v) в області r, і, отже, породжують дотичну площину S в кожній точці. Це рівнозначно тому, що векторний добуток ru × rv буде ненульовим вектором нормалі до поверхні. Таким чином, параметризація визначає поле одиничного вектора нормалі n:

Друга квадратична форма -мірної поверхні[ред.ред. код]

Друга квадратична форма -мірної поверхні, вкладеної в простір , — квадратична форма, що задає нормальну кривину. Нехай  — нормальний вектор в точці , а  — локальна карта поверхні в точці .Тоді друга квадратична форма обчислюється за формулою .

Нормальна кривина за напрямом обчислюється за формулою , де  — перша квадратична форма.

Теорема. Всі лінії на поверхні, що проходять через точку М поверхні зі спільною дотичною, мають одну і ту ж нормальну кривину. Відзначимо також, що в так званих Нормальних перетинах поверхні, що проходять через вектор нормалі, напрям цього вектора збігається з напрямком головної нормалі до лінії на поверхні, що лежить в цьому перетині, так що нормальна кривина збігається з кривиною цієї лінії. Зазвичай радіус кривини нормального перетину поверхні береться з протилежним знаком.