Друга квадратична форма

Друга квадратична форма в диференціальній геометрії це квадратична форма на дотичній площині гладкої поверхні в тривимірному евклідовому просторі, зазвичай позначається $\mathrm {I\!I}$. Разом з першою фундаментальною формою, вона використовується для визначення зовнішніх інваріантів поверхні та її головних кривин. Поняття другої квадратичної форми узагальнюється на гладкі гіперповерхні в рімановому многовиді.

Випадок поверхні в $\mathbb {R} ^{3}$

Мотивація

Друга фундаментальна форма параметрично заданої поверхні $S$ в $\mathbb {R} ^{3}$ була введена і вивчена Гаусом. Припустимо спочатку, що графіком поверхні є двічі безперервно диференційована функція $z=f(x,y)$, і, що площина $z=0$ буде дотичною площиною до поверхні в початку координат. Тоді $f$ і його часткова похідна $s$ по відношенню до $x$ і $y$ обернеться в нуль в $(0,0)$. Таким чином, ряд Тейлора функції $f$ в точці $(0,0)$ починається з квадратичних членів:

$z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+\ \$ доданки вищого порядку

і друга фундаментальна форма на початку координат в координатах $x$, $y$ є квадратична форма

$L\,{\text{d}}x^{2}+2M\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y+N\,{\text{d}}y^{2}.\,$

Для гладкої точки $P$ на $S$, можна вибрати систему координат таким чином, щоб площина $z=0$ проходила була дотичною до поверхні $S$ в точці $P$, тому можна визначити другу фундаментальну форму таким же чином.

Класичний запис

Друга фундаментальна форма загальної параметрично заданої поверхні визначається наступним чином. Нехай $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)$ буде регулярною параметризацією поверхні в $\mathbb {R} ^{3}$, де $\mathbf {r}$ є гладкою вектор-функцією від двох змінних. Вона є спільною для часткових похідних $\mathbf {r}$ по $u$ і $v$, які позначаються як $\mathbf {r} _{u}$ і $\mathbf {r} _{v}$. Регулярність параметризації $\mathbf {r} _{u}$ і $\mathbf {r} _{v}$, означає, що вони лінійно незалежні для будь-якої точки $(u,v)$ в області $\mathbf {r}$, і, отже, породжують дотичну площину $S$ в кожній точці. Це рівнозначно тому, що векторний добуток $\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}$ буде ненульовим вектором нормалі до поверхні. Таким чином, параметризація визначає поле одиничного вектора нормалі $\mathbf {n}$:

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.$

Друга квадратична форма $n$-мірної поверхні

Друга квадратична форма $n$-мірної поверхні, вкладеної в простір $\mathbb {R} ^{n+1}$, — квадратична форма, що задає нормальну кривину. Нехай $\mathbf {n}$ — нормальний вектор в точці $P$, а $\mathbf {r} \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n+1}$ — локальна карта поверхні в точці $P$.Тоді друга квадратична форма обчислюється за формулою $q_{ij}=\left(\mathbf {n} ,{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right)$.

Нормальна кривина $k_{n}$ за напрямом $\mathbf {u}$ обчислюється за формулою ${\frac {q(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )}{g(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )}}$, де $g$ — перша квадратична форма.

Теорема. Всі лінії на поверхні, що проходять через точку $M$ поверхні зі спільною дотичною, мають одну і ту ж нормальну кривину. Відзначимо також, що в так званих Нормальних перетинах поверхні, що проходять через вектор нормалі, напрям цього вектора збігається з напрямком головної нормалі до лінії на поверхні, що лежить в цьому перетині, так що нормальна кривина збігається з кривиною цієї лінії. Зазвичай радіус кривини нормального перетину поверхні береться з протилежним знаком.