Друга квадратична форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Друга квадратична форма в диференціальній геометрії це квадратична форма на дотичній площині гладкої поверхні в тривимірному евклідовому просторі, зазвичай позначається \mathrm{I\!I}. Разом з першою фундаментальною формою, вона використовується для визначення зовнішніх інваріантів поверхні та її головних кривин. Поняття другої квадратичної форми узагальнюється на гладкі гіперповерхні в рімановому многовиді.

Друга квадратична форма n-мірної поверхні[ред.ред. код]

Друга квадратична форма n-мірної поверхні, вкладеної в простір \mathbb{R}^{n+1}, — квадратична форма, що задає нормальну кривизну. Нехай \bold{n} — нормальний вектор в точці P, а \bold{r}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+1} —локальна карта поверхні в точці P.Тоді друга квадратична форма обчислюється за формулою q_{ij}=(\bold{n},\frac{\partial^2 \bold{r}}{\partial x^i \partial x^j}).

Нормальна кривизна k_n за напрямом \bold{u} обчислюється за формулою \frac{q(\bold{u},\bold{u})}{g(\bold{u},\bold{u})},де g — перша квадратична форма.

Теорема. Всі лінії на поверхні, що проходять через точку М поверхні із загальною дотичній мають одну і ту ж нормальну кривизну. Відзначимо також, що в так званих Нормальних перетинах поверхні, що проходять через вектор нормалі, напрям цього вектора збігається з напрямком головної нормалі до лінії на поверхні, що лежить в цьому перетині, так що нормальна кривизна збігається з кривизною цієї лінії. Зазвичай радіус кривизни нормального перетину поверхні береться з протилежним знаком.