Теорема перпендикулярних осей

Теорему перпендикулярних осей — можна використати для визначення моменту інерції твердого тіла, що цілком лежить у площині, щодо осі перепендикулярної до цієї площини, якщо ми знаємо моменти інерції об'єкта щодо двох перпендикулярних осей, які лежать в площині. Всі осі мають проходити через одну точку в площині.

Визначимо перпендикулярні осі $x\,$, $y\,$ і $z\,$ (які зустрічаються в початку координат $O\,$) так, що тіло лежить в площині $xy\,$ і вісь $z\,$ перпендикулярна до площини тіла. Нехай I_x, I_y і I_z це моменти інерції щодо x, y, z відповідно, теорема перпендикулярних осей стверджує, що

$I_{z}=I_{x}+I_{y}\,$

Це правило можна застосовувати із теоремою Гюйгенса — Штейнера і правилом розтягнення для віднайдення моментів інерції різних форм.

Виведення

Говорячи про декартові координати, момент інерції плоского тіла навколо осі $z\,$ є:

$I_{z}=\int \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}$

В площині, $z=0\,$, отже ці два доданки є моментами інерції навколо осей $y\,$ і $x\,$ відповідно, звідки теорема. Зворотне твердження виводиться подібним чином.

Зауважте, що $\int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}$ бо в $\int r^{2}\,dm$, r вимірює відстань від осі обертання, отже у випадку обертання навколо осі y, відхилення точки від осі обертання дорівнює її x-координаті.

Див. також

• Теорема Гюйгенса — Штейнера (паралельних осей)