Момент інерції

Момент інерції
Махове колесо має великий момент інерції для згладжування змін швидкості обертального руху
Символи	$I,\,J$
Одиниці вимірювання
SI	кг·м2
СГС	г·см2
Розмірність	M·L2
Визначення
Формула	$I=\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}$
Позначення	момент інерції ($I$) radial distance ($r_{\mathrm {Q} }$) маса ($m$)
Момент інерції у Вікісховищі

Моме́нт іне́рції (одиниця вимірювання в системі SI [кг м²]) — скалярна фізична величина, яка характеризує розподіл мас у тілі та є мірою інертності для обертального руху аналогічно до маси для поступального руху. Позначається латинською літерою I.

В загальному випадку значення моменту інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу маси в об'ємі: чим більше маси сконцентровано далі від центра мас тіла, тим більшим є його момент інерції.

Момент інерції визначений для конкретного тіла і для конкретної осі обертання — якщо обертати тіло навколо іншої осі, момент інерції зміниться.

Момент інерції існує незалежно від того, обертається тіло чи ні, так само як і маса існує незалежно від того, рухається тіло чи ні.

Визначення

Якщо розглядати тверде тіло як систему зі зліченної кількості матеріальних точок, кожна з масою $m_{i}$, то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:

$I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$,

де $r_{i}$ — відстань точки до осі.

За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:

$I=\int \rho r^{2}\,dV\,\!$

де ρ — густина.

Середній квадрат відстані (не плутати з квадратом середньої відстані) точок тіла до осі називають квадратом плеча, або радіусом інерції тіла.

Компонента моменту імпульсу, напрямлена вздовж вектора кутової швидкості дорівнює

$L_{z}=I\omega$

а її швидкість зміни

${\dot {L_{z}}}=I{\dot {\omega }}$

Такі скалярні рівняння зручні для вирішення багатьох задач, проте у загальному випадку можуть існувати і компоненти напрямлені перпендикулярно кутовій швидкості. Для їх коректного обчислення скалярного значення моменту інерції недостатньо, і необхідно використати його тензорну форму.

Також, тензор інерції необхідний якщо вектор кутової швидкості напрямлений не вздовж осі координат.

Властивості

• Момент інерції завжди додатній
• Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частин (цю ж властивість можна використовувати для обчислення моменту інерції тіла з вирізом).
• Сума моментів інерції відносно двох перпендикулярних осей завжди більша за момент інерції відносно третьої перпендикулярної їм осі.
• Сума моментів інерції відносно трьох перпендикулярних осей не змінюється при повороті осей навколо точки їх перетину. Ця величина (поділена на 2) називається полярним моментом інерції відносно точки.
• Згідно з теоремою Гюйгенса — Штейнера, момент інерції тіла $I$ відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла $I_{0}$ відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані a між осями: $I=I_{0}+ma^{2}\,\!$.

Тензор інерції

Запишемо формулу для кінетичної енергії тіла, що обертається навколо осі, що проходить через центр мас (тут і далі ми будемо опускати індекси, що нумерують точки):

$T=\sum {\frac {mv^{2}}{2}}=\sum {\frac {m}{2}}(\mathbf {\Omega \times r} )^{2}$

Розклавши квадрат векторного добутку, отримаємо

$T={\frac {1}{2}}\sum m(\Omega ^{2}r^{2}-(\mathbf {\Omega r} )^{2})$

Перепишемо вираз у тензорному вигляді, через компоненти $\Omega _{i},r_{i}$ векторів $\mathbf {\Omega r}$:

$T={\frac {1}{2}}\sum m\left(\sum _{i}(\Omega _{i}^{2}r^{2})-\sum _{i}\sum _{k}(\Omega _{i}r_{i}\Omega _{k}r_{k})\right)$

Використовуючи тотожність $\Omega _{i}=\sum _{k}\delta _{ik}\Omega _{k}$, де $\delta _{ik}$ — одиничний тензор, а також тим, що всі точки обертаються з однаковими кутовими швидкостями, перепишемо останнє рівняння як:

$T={\frac {1}{2}}\sum m\left(\sum _{i}\sum _{k}(\Omega _{i}\Omega _{k}\delta _{ik}r^{2}-\Omega _{i}r_{i}\Omega _{k}r_{k})\right)={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{k}\Omega _{i}\Omega _{k}\sum m(\delta _{ik}r^{2}-r_{i}r_{k})$

Величина $I_{ik}=\sum m(\delta _{ik}r^{2}-r_{i}r_{k})$ називається тензором інерції тіла (для випадку неперервного розподілу маси сума заміняється аналогічним інтегралом).

Запишемо його компоненти у явному вигляді:

$I_{ik}={\begin{pmatrix}\sum m(y^{2}+z^{2})&-\sum mxy&-\sum mxz\\-\sum myx&\sum m(x^{2}+z^{2})&-\sum myz\\-\sum mzx&-\sum mzy&\sum m(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}$

Діагональні компоненти тензора називають осьовими моментами інерції (відносно відповідних осей), а не діагональні — відцентровими моментами інерції або добутками інерції (як переклад англомовного терміну product of inertia). В той час як осьові моменти завжди додатні, відцентрові можуть бути і від'ємні.

Формула для кінетичної енергії тіла тоді може бути записана як

$T={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \beta }I_{\alpha \beta }\Omega _{\alpha }\Omega _{\beta }.$

Тензор інерції симетричний

$I_{\alpha \beta }=I_{\beta \alpha }$.

Важливо розуміти, що, як і вектори, тензори змінюються при зміні координатної системи — тобто, конкретні значення його компонент залежать від того, як саме будуть напрямлені осі координатної системи.

Як і для будь-якого іншого симетричного тензору другого рангу, існує така система координат, у якій він має діагональну форму (головна система координат) — тобто, у цій системі координат всі недіагональні елементи тензору інерції стають рівними нулю. Осі головної системи координат називають головними осями інерції. Діагональні елементи тензору тоді називають головними моментами інерції.

Напрям головних осей інерції залежить від того, де розміщений початок координат — тобто, якщо змістити точку через яку проходять осі обертання, то головні моменти не будуть паралельні до головних моментів у випадку якщо ми розмістимо початок координат у центрі мас. Виключення — якщо початок координат лежить на одній з головних осей інерції, що проходять через центр мас. В такому випадку їх напрямок не міняється.

Вираз для кінетичної енергії тоді спрощується до

$T={\frac {1}{2}}(I_{1}\Omega _{1}^{2}+I_{2}\Omega _{2}^{2}+I_{3}\Omega _{3}^{2})$

Симетрії тіла впливають на напрям його головних моментів. Якщо тіло має обертову симетрію, то один з головних моментів напрямлений вздовж осі симетрії. Якщо ж при цьому порядок симетрії 3 і вище (тобто, як у піраміди або трикутної призми), то інші два моменти можуть бути обрані довільно (але перпендикулярно один одному і осі обертання) і вони будуть рівні.

У таких тіл як сфера, куб або тетраедр (або будь-який правильний многогранник) всі моменти інерції рівні, і будь-які три перпендикулярні вектори можуть бути обрані як головні моменти інерції.

Тіло, всі три головних моменти якого є різними називають асиметричним ротатором, той, у якого збігаються два моменти з трьох — симетричним ротатором, а такий, у якого всі три головних моменти рівні — сферичним ротатором.

Повний момент імпульсу

Момент імпульсу точкової маси дорівнює

$L_{\alpha }=\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

Що, враховуючи те що лінійна швидкість пов'язана з кутовою як $\mathbf {\dot {r}} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$ можна переписати як

$L_{\alpha }=m\mathbf {r} \times (\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} )$

У декартових координатах (якщо вісь z є віссю обертання)

${\dot {x}}=-\omega y,{\dot {y}}=\omega x,{\dot {z}}=0$

а відповідні компоненти моменту імпульсу

$L_{x}=m(-z{\dot {y}})=-mxz\omega =\omega I_{xz}$

$L_{y}=m(z{\dot {x}})=-myz\omega =\omega I_{yz}$

$L_{z}=m(x{\dot {y}})-m(y{\dot {x}})=(x^{2}+y^{2})\omega =\omega I_{zz}$

Для обертання навколо довільної осі компоненти моменту імпульсу можна виразити в тензорній формі:

$L_{\alpha }=\sum _{\beta }I_{\beta \alpha }\Omega _{\alpha }$

У головній системі координат вираз спрощується

${\begin{matrix}L_{x}=I_{x}\Omega _{x};&L_{y}=I_{y}\Omega _{y};&L_{z}=I_{z}\Omega _{z}\end{matrix}}$.

Загальний момент $\mathbf {L} =\{L_{x},L_{y},L_{z}\}$

Якщо вісь обертання тіла не збігається з жодною з головних осей, напрям моменту імпульсу може не збігатися з напрямом вектора кутової швидкості.

Тобто, у моменті імпульсу може бути компонента, що напрямлена перпендикулярно осі обертання, що може бути контрінтуїтивно.

Простим прикладом такої ситуації є обертання двох рівних точкових мас з'єднаних жорстким невагомим стрижнем навколо осі, що проходить через центр стрижня і нахилена під деяким кутом до нього. Враховуючи що маси мають протилежні координати і протилежні швидкості, момент імпульсу такої системи дорівнює

$L=m\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}} +m\mathbf {-r} \times \mathbf {-{\dot {r}}} =2m\mathbf {r} \times (\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} )$

За визначенням векторного добутку, ця величина напрямлена перпендикулярно вектору $\mathbf {r}$, тобто, перпендикулярно до стрижня, а отже не вздовж осі обертання.

Також, потрібно пам'ятати, що координатна система, в якій заданий тензор інерції прив'язана до самого тіла, а не до землі. Відповідно, якщо ми хочемо правильно порахувати момент імпульсу в інерціальній системі, необхідно врахувати те що компоненти тензора інерції змінюються. При обертанні навколо осі z, закон зміни наступний:

${\dot {I}}_{xz}=-\omega I_{yz}$

${\dot {I}}_{yz}=\omega I_{xz}$

${\dot {I}}_{zz}=0$

Рівняння динаміки твердого тіла

Основне рівняння динаміки обертального руху

За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідають моменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.

При одновісному обертанні

$\sum _{i}\mathbf {M_{i}} =I{\frac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}=I{\vec {\epsilon }}$

Тут M_i — моменти зовнішніх сил, $\mathbf {\Omega }$ — кутова швидкість, $\mathbf {\epsilon }$ — кутове прискорення.

Стабільність обертання

Нестабільне обертання у невагомості

Графічне пояснення ефекту: закони збереження відповідають умові прив'язки вектора кутової швидкості то лінії перетину двох еліпсоїдів, енергії (фіолетовий) і моменту імпульсу (жовтий)

Якщо всі три моменти інерції у тіла різні, то обертання навколо осі що відповідає найбільшому і найменшому моменту є стабільним, тоді як обертання навколо осі що відповідає проміжному моменту є нестабільним — невеликі відхилення осі обертання від осі тіла експоненційно наростають з часом.

Це явище відоме як теорема тенісної ракетки (оскільки він добре помітний при підкиданні тенісної ракетки з одночасним обертанням навколо однієї з осей) або ефект Джанібекова (на честь радянського космонавта, який помітив як воно проявляється при обертанні несиметричних тіл в невагомості).

Такий результат загалом може бути пояснений тим фактом що простір доступних положень осі обертання відносно тіла обмежений законом збереження енергії і законом збереження моменту імпульсу (його напрямок відносно тіла міняється, але абсолютна величина зберігається).

Якщо вісь обертання близька до напрямку головного моменту, то зміщення осі може відбуватися в напрямку двох інших осей:

$\omega =\Omega _{i}e_{i}+\omega _{j}e_{j}+\omega _{k}e_{k}$

де $\omega _{j},\omega _{k}$ — малі порівняно з $\Omega _{i}$ а $e_{i},e_{j},e_{k}$ — базисні вектори що збігаються з головними моментами інерції.

Якщо $\Omega _{i}$ напрямлена вздовж найбільшого або найменшого головного моменту інерції, момент імпульсу і енергія що відповідає такому обертанню знаходяться поблизу локального максимуму (чи мінімуму), тобто, зміщення в будь-яку сторону зменшує (або збільшує) енергію і момент імпульсу, а отже вектор кутової швидкості не може відійти далеко від початкової точки.

В той же час проміжний головний момент відповідає сідловій точці в якій спадання енергії і імпульсу при зміщенню в одному напрямку може компенсуватися зростанням в іншому, а тому вісь може зміщуватися далеко від початкового положення.

Більш математичне пояснення випливає з розв'язку рівнянь Ейлера — у випадку найбільшого і найменшого головного моменту рівняння руху вектора осі обертання (відносно тіла) мають форму ${\ddot {\omega _{i}}}\sim -\omega _{i}$, що відповідає гармонічним коливанням (у двох вимірах), тоді як у випадку проміжного моменту вони мають форму ${\ddot {\omega _{i}}}\sim \omega _{i}$, що відповідає експоненційному зростанню.

Практично спостерігати це явище можна підкидаючи сірникову коробку або книгу. Обертання навколо найдовшої або найкоротшої осі буде стабільним, проте якщо розкрутити коробку навколо середньої осі, вона буде перекидатися у повітрі.

Функція Лагранжа

Для твердого тіла функція Лагранжа дорівнює

$T={\frac {mV^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}I_{\alpha \beta }\Omega _{\alpha }\Omega _{\beta }-U$

Див. також

• Список моментів інерції
• Моменти інерції плоских перерізів
• Теорема про зміну моменту імпульсу системи

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. с. 516.(укр.)
• Л. Д. Ландау, Є. М. Ліфшиць, Л. П. Пітаєвський, В. Б. Берестецький, Л. М. П'ятигорський. Теоретична фізика. — 2026.(укр.)
• В. В. Мултановский. Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика // Курс теоретической физики. — М. : Просвещение, 1988. — Т. 1. — 304 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Tom W.B. Kibble,Frank H. Berkshire. Classical Mechanics. — London : Imperial College Press, 2004. — 478 с. — ISBN 1860944248.