Орієнтована площа

Орієнтована площа — узагальнення поняття площі, обмеженої замкнутою кривою на площині. На відміну від звичайної площі, має знак.

Визначення

Якщо на орієнтованій площині міститься напрямлена замкнута крива $\ell$, можливо із самоперетинами і накладаннями, то для кожної точки площини, що не лежить на $\ell$, визначено цілочислову функцію (додатну, від'ємну або нульову), звану індексом точки відносно $\ell$. Вона показує скільки разів і в який бік контур $\ell$ обходить цю точку. Інтеграл по всій площині від цієї функції, якщо він існує, називають охоплюваною $\ell$ орієнтованою площею.

Властивості

Для орієнтованої площі $S$ обмеженої замкнутою ламаною $A_{1}\dots A_{n}$ на площині виконується рівність

$S\cdot {\vec {N}}={\vec {OA_{1}}}\times {\vec {A_{1}A_{2}}}+\dots +{\vec {OA_{n}}}\times {\vec {A_{n}A_{1}}},$

де ${\vec {N}}$ позначає одиничний вектор нормалі до площини і $\times$ — векторний добуток.

Література

• Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;