Векторний добуток

Знаходження напрямку векторного добутку використовуючи правило правої руки

Ве́кторний до́буток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простору, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.

Позначення

Найчастіше для позначення векторного добутку вживається символ ×. Векторний добуток позначається також квадратними дужками, в яких співмножники розділені комами. Крім того, в фізичних текстах заведено позначати вектори жирним шрифтом.

${\vec {u}}\times {\vec {v}}=[{\vec {u}},{\vec {v}}]=[{\vec {u}}\times {\vec {v}}]=\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$

Алгебраїчне означення векторного добутку

Довільний вектор в $\mathbb {R} ^{3}$ описується своїми координатами відносно стандартного базису $\{{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\}.$ Векторним добутком двох $3$-векторів

${\vec {u}}=u_{1}{\vec {i}}+u_{2}{\vec {j}}+u_{3}{\vec {k}},\quad {\vec {v}}=v_{1}{\vec {i}}+v_{2}{\vec {j}}+v_{3}{\vec {k}},$

називається $3$-вектор

${\vec {u}}\times {\vec {v}}=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}){\vec {i}}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}){\vec {j}}+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}){\vec {k}},$

який також символічно записується у вигляді $3\times 3$ детермінанту:

${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}$.

Насправді ці формули для векторного добутку виконуються у будь-якому ортонормальному базисі $\mathbb {R} ^{3}$.

Геометричне означення векторного добутку

Векторний добуток (вертикально) змінюється разом з кутом між векторами

У науковій літературі з механіки і фізики розповсюджено дещо інше означення векторного добутку.

Векторним добутком двох $3$-векторів ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}$ називається $3$-вектор ${\vec {u}}\times {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}$, який задовольняє наступним вимогам:

1. $|{\vec {u}}\times {\vec {v}}|=|{\vec {u}}||{\vec {v}}|\sin \theta ,$ де $\theta$ —це кут між ${\vec {u}}$ та ${\vec {v}}$ (довжина або правило паралелограму);
2. вектор ${\vec {u}}\times {\vec {v}}$ — ортогональний до векторів ${\vec {u}}$ та ${\vec {v}}$ (ортогональність);
3. вектори ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}$ утворюють праву трійку векторів (орієнтація).

Праві та ліві трійки векторів

Фундаментальна властивість тривимірного простору — його орієнтовність. Два упорядковані базиси (або лінійно-незалежні трійки векторів)$\mathbb {R} ^{3}$ називаються еквівалентними, якщо існує неперервна деформація першого у другий (із збіганням порядку векторів базису), яка складається виключно з базисів (або лінійно-незалежних трійок векторів) $\mathbb {R} ^{3}.$ Тоді всі лінійно-незалежні трійки векторів $\mathbb {R} ^{3}$ поділяються на два класи еквівалентності, що називаються лівими та правими трійками (базисами).

Праву (ліву) трійки векторів можна наочно уявити так. Після суміщення початків, вектори правої (лівої) трійки розташуються так як великий, незігнутий вказівний та середній пальці правої (лівої) руки.

Властивості векторного добутку

• Антикомутативність:

${\vec {u}}\times {\vec {v}}=-{\vec {v}}\times {\vec {u}}$

• Білінійність:

$(r{\vec {u}}+s{\vec {v}})\times {\vec {w}}=r{\vec {u}}\times {\vec {w}}+s{\vec {v}}\times {\vec {w}},\quad {\vec {u}}\times (r{\vec {v}}+s{\vec {w}})=r{\vec {u}}\times {\vec {v}}+s{\vec {u}}\times {\vec {w}};$

• Тотожність Якобі:

${\vec {u}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {w}})+{\vec {v}}\times ({\vec {w}}\times {\vec {u}})+{\vec {w}}\times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {0}}.$

На відміну від переважної більшості бінарних операцій "добутку" (дійсних чи комплексних чисел, елементів групи тощо), векторний добуток не є асоціативним. Натомість, наведені властивості означають, що вектори у $\mathbb {R} ^{3}$ з операцією векторного добутку утворюють алгебру Лі.

• Правило паралелограма:

Довжина векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, який побудований на векторах-співмножниках відкладених від спільної точки.

• Як наслідок з попередньої властивості, векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники — паралельні (тобто скалярно пропорціональні), зокрема, векторний добуток будь-якого вектора на себе — нульовий вектор.

Матриця векторного добутку

Векторний добуток може бути записаним як добуток косо-симетричної матриці та вектора:

${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\big [}{\vec {u}}{\big ]}_{\times }\cdot {\vec {v}}={\big [}{\vec {v}}{\big ]}_{\times }^{\mathrm {T} }\cdot {\vec {u}}={\begin{bmatrix}0&-u_{3}&u_{2}\\u_{3}&0&-u_{1}\\-u_{2}&u_{1}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&v_{3}&-v_{2}\\-v_{3}&0&v_{1}\\v_{2}&-v_{1}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}.$

Див. також

• Скалярний добуток
• Аксіальний вектор