Крива

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді.

Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі:

де  — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в Евклідовому просторі або многовиді, а  — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки)

Розглянемо рівняння кривої в Декартовій системі координат -мірного Евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої:

Дотичний вектор[ред.ред. код]

Похідну по параметру позначатимемо крапкою зверху:

Очевидно, що вектор (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.

Довжина кривої[ред.ред. код]

Докладніше: Довжина кривої

Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками і дорівнює:

Довжина відрізка кривої, коли параметр пробігає значення від до , дається інтегралом:

Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію , визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина також параметризує точки нашої кривої; називається натуральним параметром кривої.

Якщо вектор швидкості ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція всюди монотонно зростає і має обернену функцію .

Кривина кривої[ред.ред. код]

Із рівності слідує, що похідна радіус-вектора по натуральному параметру кривої:

є дотичним вектором одиничної довжини.

Диференціюючи (3) по натуральному параметру маємо:

Отже вектор ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора нормалі до кривої, та скаляра який називається кривиною:

Геометричний зміст кривини[ред.ред. код]

Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса дотичного кола:

Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром маємо дотичний вектор , а в точці з параметром  — дотичний вектор . Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити , то довжина третьої сторони буде дорівнювати:

Оскільки для кола радіуса маємо , то маємо для кривини кривої:

Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:

Коло радіуса , дотичне до вектора , матиме центр в ортогональній до гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді , де є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:

Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):

Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює , і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:

Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку (), якщо:

Типи кривих[ред.ред. код]

Типи точок на кривій[ред.ред. код]

Скрут[ред.ред. код]

Якщо евклідовий простір має розмірність , то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор та вектор нормалі ) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів і ) :

Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах і ):

Похідна бівектора по натуральному параметру дорівнює:

Звідси робимо висновок, що дві площини і перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор ):

Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту по натуральному параметру називається скрутом:

Формули Френе-Серре[ред.ред. код]

Докладніше: Тригранник Френе

Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора і ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:

Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні по натуральному параметру від векторів репера (, i ) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що . Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі . Із постійності величини цього вектора знаходимо:

Тобто похідна ортогональна до самого вектора нормалі , а тому розкладається по двом іншим векторам репера:

Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну :

Знайдемо коефіцієнти розкладу і . З останньої формули видно, що (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора , а отже і дотичної до кривої площини ( є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням: . Коефіцієнт можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на :

У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:

Ці рівняння відкрили два французькі математика: Жан Фредерік Френе (1852) і Жозеф Альфред Серре (1851).

Коефіцієнт в формулах Френе-Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується наша крива в околі даної точки.

Див. також[ред.ред. код]