Крива

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді.

Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі:

x^i = x^i(t) \,

де x^i \, — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в Евклідовому просторі або многовиді, а t — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки)

Розглянемо рівняння кривої в Декартовій системі координат n-мірного Евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої:

\mathbf{r} = \{x^1, x^2, ...x^n\}

Дотичний вектор[ред.ред. код]

Похідну по параметру позначатимемо крапкою зверху:

\dot \mathbf{r} = {d\mathbf{r} \over dt}
\dot x^i = {dx^i \over dt}

Очевидно, що вектор \mathbf{v} = \dot \mathbf{r} (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.

Довжина кривої[ред.ред. код]

Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками \mathbf{r} і \mathbf{r}+ d\mathbf{r} дорівнює:

(1) \qquad ds^2 = (d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r}) = \sum_i (dx^i)^2 = \sum_i (d\dot x^i)^2\, (dt)^2

Довжина відрізка кривої, коли параметр t пробігає значення від t_1 до t_2, дається інтегралом:

(2) \qquad s = \int_{t_1}^{t_2} ds = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot x^i \dot x^i}\, dt

Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію s = s(t), визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина s також параметризує точки нашої кривої; s називається натуральним параметром кривої.

Якщо вектор швидкості \mathbf{v} = \dot \mathbf{r} ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція s = s(t) всюди монотонно зростає і має обернену функцію t = t(s).

Кривина кривої[ред.ред. код]

Із рівності ds^2 = (d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r}) слідує, що похідна радіус-вектора по натуральному параметру кривої:

\boldsymbol{\tau} = {d\mathbf{r} \over ds}

є дотичним вектором одиничної довжини.

(3) \qquad \boldsymbol{\tau}^2 = (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 1

Диференціюючи (3) по натуральному параметру маємо:

{d \over ds}(\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2(\boldsymbol{\tau} \cdot {d\boldsymbol{\tau} \over ds}) = 0

Отже вектор \mathbf{k} = {d\boldsymbol{\tau} \over ds} = {d^2\mathbf{r} \over ds^2} ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора \mathbf{n} нормалі до кривої, та скаляра k який називається кривиною:

\mathbf{k} = k\mathbf{n}

Геометричний зміст кривини[ред.ред. код]

Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса R дотичного кола:

(4) \qquad k = {1 \over R}

Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром s маємо дотичний вектор \mathbf{\tau}, а в точці з параметром s' = s + \Delta s — дотичний вектор \mathbf{\tau}' = \mathbf{\tau} + \Delta \mathbf{\tau}. Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити \Delta \alpha, то довжина третьої сторони буде дорівнювати:

|\Delta \boldsymbol{\tau}| = 2\sin {{\Delta \alpha} \over 2} \approx \Delta \alpha

Оскільки для кола радіуса R маємо \Delta s = R \Delta \alpha, то маємо для кривини кривої:

k = |{{d\boldsymbol{\tau}} \over ds}| \approx {|\Delta \boldsymbol{\tau}| \over \Delta s} = {{\Delta \alpha} \over {R \Delta \alpha}} = {1 \over R}

Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:

(5) \qquad \mathbf{r} \approx {d\mathbf{r} \over ds}s + {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}}{d^2\mathbf{r} \over ds^2}s^2 =\mathbf{\tau}s + {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}}\mathbf{k} s^2

Коло радіуса R, дотичне до вектора \mathbf{\tau}, матиме центр в ортогональній до \mathbf{\tau} гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді \mathbf{r}_c = R\mathbf{n}, де \mathbf{n} є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:

(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 0

Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):

(6) \qquad \mathbf{r}' = R\sin t\boldsymbol{\tau} + R(1-\cos t)\mathbf{n}

Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює s = Rt, і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:

(7) \qquad \mathbf{r}' \approx Rt \boldsymbol{\tau} + {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} Rt^2 \mathbf{n} = \boldsymbol{\tau} s + {1 \over {2R}} \mathbf{n} s^2

Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку (\mathbf{r}' \approx \mathbf{r}), якщо:

(8) \qquad \mathbf{k} = {1 \over {R}} \mathbf{n}

Типи кривих[ред.ред. код]

Типи точок на кривій[ред.ред. код]

Скрут[ред.ред. код]

Якщо евклідовий простір має розмірність n \ge 3, то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор \mathbf{\tau} та вектор нормалі \mathbf{n}) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів \mathbf{\tau} і \mathbf{n}) \mathbf{\sigma} = \mathbf{\tau} \wedge \mathbf{n}:

\sigma_{ij} = \tau_i n_j - \tau_j n_i

Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах \mathbf{\tau} і \mathbf{n}):

\sum_{i<j} (\sigma_{ij})^2 = {1 \over 2} \sum_{i,j} (\tau_i n_j - \tau_j n_i)^2= {1 \over 2} \sum_{i,j} (\tau_i^2 n_j^2 + \tau_j^2 n_i^2 - 2 (\tau_i n_i)(\tau_j n_j)) = (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau})(\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) - (\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{n})^2 = 1

Похідна бівектора по натуральному параметру дорівнює:

\dot \boldsymbol{\sigma} = \dot \boldsymbol{\tau} \wedge \mathbf{n} +  \boldsymbol{\tau} \wedge \dot \mathbf{n} = k \mathbf{n} \wedge \mathbf{n} + \boldsymbol{\tau} \wedge \dot \mathbf{n} = \boldsymbol{\tau} \wedge \dot \mathbf{n}

Звідси робимо висновок, що дві площини \boldsymbol{\sigma} і \boldsymbol{\sigma}' = \boldsymbol{\sigma} + \Delta \boldsymbol{\sigma} перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор \boldsymbol{\tau}):

\boldsymbol{\sigma}' = \boldsymbol{\tau} \wedge \mathbf{n} + \boldsymbol{\tau} \wedge \dot \mathbf{n} \Delta s = \boldsymbol{\tau} \wedge (\mathbf{n} + \dot \mathbf{n} \Delta s)

Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту по натуральному параметру називається скрутом:

\varkappa = {d\phi \over ds} = |\boldsymbol{\tau} \wedge \dot \mathbf{n}|

Формули Френе-Серре[ред.ред. код]

Докладніше: Тригранник Френе

Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора \boldsymbol{\tau} і \mathbf{n} ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:

\mathbf{f} = \boldsymbol{\tau} \times \mathbf{n}

Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні по натуральному параметру від векторів репера (\dot \boldsymbol{\tau}, \dot \mathbf{n} i \dot \mathbf{f}) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що \dot \boldsymbol{\tau} = k \mathbf{n}. Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі \mathbf{n}. Із постійності величини цього вектора знаходимо:

0 = {d \over ds} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) = 2 (\mathbf{n} \cdot \dot \mathbf{n})

Тобто похідна \dot \mathbf{n} ортогональна до самого вектора нормалі \mathbf{n}, а тому розкладається по двом іншим векторам репера:

(9) \qquad \dot \mathbf{n} = \alpha \boldsymbol{\tau} + \beta \mathbf{f}

Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну \dot \mathbf{f}:

\dot \mathbf{f} = {d \over ds} (\boldsymbol{\tau} \times \mathbf{n}) = \dot\boldsymbol{\tau} \times \mathbf{n} + \mathbf{\tau} \times \dot\mathbf{n} = k \mathbf{n} \times \mathbf{n} + \mathbf{\tau} \times (\alpha \mathbf{\tau} + \beta \mathbf{f}) = \beta \boldsymbol{\tau} \times \mathbf{f} = - \beta \mathbf{n}

Знайдемо коефіцієнти розкладу \alpha і \beta. З останньої формули видно, що \beta (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора \mathbf{f}, а отже і дотичної до кривої площини (\mathbf{f} є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є скрутом: \beta = \varkappa. Коефіцієнт \alpha можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на \boldsymbol{\tau}:

\alpha = (\boldsymbol{\tau} \cdot \dot\mathbf{n}) = {d \over ds} (\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{n}) - (\dot\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{n}) = - (k\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) = -k

У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:

\dot \boldsymbol{\tau} = \qquad k \mathbf{n}
\dot \mathbf{n} = -k\boldsymbol{\tau} \qquad + \varkappa \mathbf{f}
\qquad \dot \mathbf{f} = \qquad - \varkappa \mathbf{n}

Ці рівняння відкрили два французькі математика: Жан Фредерік Френе (1852) і Жозеф Альфред Серре (1851).

Коефіцієнт \varkappa в формулах Френе-Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується наша крива в околі даної точки.

Дивіться також[ред.ред. код]