Нелінійні алгебраїчні рівняння

Визначення

Алгебраїчним нелінійним рівнянням степеня n називається рівняння типу
$P_{n}(x)=0$,
де $P_{n}(x)$ є многочленом степеня n.

Тобто, таке рівняння має такий вигляд:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0$,
де $a_{i}$ називають коефіцієнтами рівняння. Також $a_{i}$ є переважно елементами множини дійсних, або комплексних чисел.

Властивості

Кожне нелінійне алгебраїчне рівняння з комплексними, або дійсними коефіцієнтами, степінь якого є більшим за 0, має хоча б один комплексний розв'язок.

Розв'язки нелінійних алгебраїчних рівнянь, з дійсними коефіцієнтами, є дійсними, або попарно спряженими комплексними числами.

Приклади

Найважливіші випадки нелінійних алгебраїчних рівнянь:

• Квадратні рівняння $ax^{2}+bx+c=0$;
• Кубічні рівняння $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$;
• Рівняння четвертого степеня $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$.

Див. також

• Нелінійні тригонометричні рівняння
• Алгебраїчні рівняння
• Методи розв'язання нелінійних рівнянь
• Теорема Декарта