Рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ілюстрація графічного методу знаходження коренів рівняння  x = f(x)

Рівняння — аналітичний запис задачі знаходження аргументів, при яких дві задані функції рівні між собою.

 f(x) = g(x) \,,

де  f(x) \, та  g(x) \, — деякі задані функції, які називаються лівою та правою частинами рівняння, x — елемент множини, на якій визначені функції f та g.

Аргументи функцій рівняння називають невідомими (величинами), значення невідомих, при яких рівняння стає рівністю — коренями рівняння. Рівняння може мати один, кілька або нескінченно багато коренів, а може не мати кореня взагалі.

Іноді математична задача накладає обмеження на множину, якій повинні належати розв'язки рівняння, наприклад, діофантові рівняння вимагають тільки цілочисленного розв'язку. Існування та кількість коренів рівняння теж можуть залежати від множини: наприклад, рівняння  x^2 = -1 не має дійсних розв'язків, однак має комплексні розв'язки.

Нормальна форма запису рівняння має вигляд:

 F(x) = 0 .

До неї можна перейти, перенісши праву частину рівняння наліво. Рівняння в такій формі називається однорідним.

Для того, щоб розв'язати рівняння, треба знайти його розв'язки або довести, що їх не існує.

Агрументами фунцій, а, отже, невідомими рівнянь можуть бути не тільки числа, а й складніші математичні об'єкти. Наприклад, в диференціальних рівняннях невідомими є функції, в операторних — оператори тощо.

Еквівалентність рівннянь[ред.ред. код]

Два рівняння називаються еквівалентними або рівносильними, якщо кожен корінь одного рівняння є коренем другого рівняння і навпаки.

Еквівалентність рівнянь має властивість рефлексивності: якщо одне рівняння еквівалентне другому, то друге рівняння еквівалентне першому.

Еквівалентність рівнянь має властивість транзитивності: якщо одне рівняння еквівалентне другому, а друге еквівалентне третьому, то перше рівняння еквівалентне третьому. Властивість еквівалентності рівнянь дозволяє проводити з ними перетворення, на яких ґрунтуються методи їхнього розв'язання.

Третя важлива властивість задається теоремою: рівняння

 f_1(x) \cdot f_2(x) = 0 \,

еквівалентне сукупності рівнянь:

 f_1 (x) = 0, \qquad f_2(x) = 0. \,

Це означає, що всі корені першого рівняння є коренями одного з двох інших рівнянь, і дає змогу знаходити корені частинами.

Наслідок рівняння та сторонні корені[ред.ред. код]

Рівняння

 F(x) = G(x) \,

називається наслідком рівняння

 f(x) = g(x) \, ,

якщо всі корені другого рівняння є коренями першого. Загалом перше рівняння може мати додаткові корені, які щодо другого рівняння називаються сторонніми. Сторонні корені можуть з'явитися при перетвореннях, необхідних для знаходження коренів рівнянь. Для того, щоб їх виявити, потрібно перевірити корінь підстановкою у початкове рівняння. Якщо при підстановці рівняння стає тотожністю, то корінь справжній, якщо ні — сторонній.

Приклад[ред.ред. код]

Рівняння

 \sqrt{2x^2 -1} = x, \,

при піднесенні обох частин до квадрату дає рівняння

 2x^2 -1 = x^2, \,  або  x^2 = 1. \,

Обидва рівняння є наслідками початкового. Останнє з них легко розв'язати. Воно має два корені

 x = 1 та  x = -1 .

При підстановці першого кореня в початкове рівняння утворюється тотожність

 \sqrt{1} = 1. \,

При підстановці другого кореня утворюється хибне твердження:

 \sqrt{1} = -1. \, .

Отже, другий корінь потрібно відкинути, як сторонній.

Основні властивості рівнянь[ред.ред. код]

З алгебраїчними виразами, що входять до рівняння можна виконувати операції, які не змінюють його коренів, зокрема.

  1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки.
  2. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки.
  3. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини в іншу, замінивши його знак на протилежний.
  4. Обидві частини рівняння можна множити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

Рівняння, які є результатом цих операцій є еквівалентними початковому рівнянню.

Піднесення обох частин рівняння до квадрату може призвести до появи сторонніх коренів.

Види рівнянь та особливості їх розв'язування[ред.ред. код]

Розрізняють алгебраїчні, параметричні, трансцендентні, функціональні, диференціальні та інші види рівнянь.

Розв'язування рівнянь[ред.ред. код]

Окремі класи рівнянь мають аналітичні розв'язки, які зручні тим, що не лише дають точне значення кореня, а й дозволяють записати розв'язок у вигляді формули, у яку можуть входити параметри. Такі аналітичні вирази дозволяють не лише обчислити корені, а й провести аналіз їх існування та їх кількості залежно від значень параметрів, що часто буває навіть важливішим для практичного застосування, ніж конкретні значення коренів.

До рівнянь, для яких відомі аналітичні розв'язки, належать алгебраїчні рівняння, не вище четвертого степеня: лінійне рівняння, квадратне рівняння, кубічне рівняння та рівняння четвертого степеня. Алгебраїчні рівняння вищих степенів у загальному випадку аналітичного рішення не мають, хоча деякі з них можна звести до рівнянь нижчих степенів.

Рівняння, до яких входять трансцендентні функції називаються трансцендентними. Серед них аналітичні розв'язки відомі для деяких тригонометричних рівнянь, оскільки нулі тригонометричних функцій добре відомі.

У загальному випадку, коли аналітичного розв'язку знайти не вдається, застосовують чисельні методи. Чисельні методи не дають точного розв'язку, а тільки дозволяють звузити інтервал, в якому лежить корінь, до певного наперед заданого значення.

Алгебраїчні рівняння[ред.ред. код]

Алгебраїчним рівнянням називається рівняння виду

P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,

де P — многочлен від однієї або декількох змінних x_1, \ldots, x_n, які є невідомими.

Впорядкований набір чисел a1, …, an задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні x1 на a1, x2 на a2 і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, впорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівнянню х2 + у2 = z2, оскільки 32 +42 = 52). Число, що задовольняє алгебраїчне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв'язків цього рівняння.

Степенем многочлена Р називається степінь рівняння Р(х1, … , хn) = 0. Наприклад, 3х — 5у + z = с — рівняння першого степеня, х2 + у2 = z2 — другого степеня, а х4 — Зх3 + 1 = 0 — четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також лінійними.

Рівняння вищого степеня називають нелінійними. Алгебраїчне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв'язків алгебраїчного рівняння з великою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебраїчні рівняння з n невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіх таких наборів утворює множину розв'язків системи.

Лінійні рівняння[ред.ред. код]

Лінійне рівняння — рівняння, обидві частини якого визначаються лінійними функціями. Може бути записане:

  • у загальній формі: a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0
  • в канонічній формі: a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b

Квадратні рівняння[ред.ред. код]

Графіки квадратичної функції (парабола)
ax^2 + bx + c = 0,

де x — вільна змінна, a, b, c — коефіцієнти, причому \quad a \ne 0.

Вираз ax^2+bx+c називають квадратним тричленом. Корінь такого рівняння (корінь квадратного тричлена) — це значення змінної x, яке перетворює квадратний тричлен в нуль, тобто це значення, що перетворює квадратне рівняння у тотожність. Коефіцієнти квадратного рівняння мають власні назви: коефіцієнт a називають першим або старшим, коефіцієнт b називають другим або коефіцієнтом біля x, c називається вільним членом цього рівняння. Приведеним називають квадратне рівняння, у якому старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Таке рівняння можна отримати після ділення усього виразу на старший коефіцієнт a: x^2 + px + q = 0, \quad p=\frac{b}{a}, \quad q=\frac{c}{a}. Повним квадратним рівнянням називають таке, у якого всі коефіцієнти є відмінними від нуля. Неповним квадратним рівнянням називається таке, у якому хоча б один з коефіцієнтів крім старшого (або другий коефіцієнт, або вільний член) дорівнює нулю.

Для графічного аналізу квадратного рівняння в декартовій системі координат використовується парабола — графік квадратичної функції, що лежить в основі рівняння.

Для знаходження коренів квадратного рівняння  ax^2 + bx +c=0 у загальному випадку використовують такий алгоритм:

Обчислити значення дискримінанту квадратного рівняння за виразом D=b^2 - 4ac.
1) якщо D > 0 2) якщо D = 0 3) якщо D < 0
коренів два, для знаходження використовують формулу: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(1) , корінь один (або кажуть про два однакових корені), формула якого —  -\frac{b}{2a} роблять висновок про те, що корені у множині дійсних чисел відсутні.

Кубічні рівняння[ред.ред. код]

Графік кубічної функції (кубічна парабола)
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0.

Для графічного аналізу кубічного рівняння в декартовій системі координат використовується кубічна парабола.

Довільне кубічне рівняння канонічного виду можна привести до простішого виду:

y^3 + py + q = 0,\,

Після ділення його на a й підстановки у нього заміни x = y - \tfrac{b}{3a}. При цьому коефіцієнти будуть дорівнювати:

q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3},
p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2}.

Рівняння четвертого степеня[ред.ред. код]

Графік многочлена 4-го степеня з чотирма коренями й трьома критичними точками.
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.

Четвертий степінь для алгебраїчних рівнянь є найвищим, при якому існує аналітичне вирішення у радикалах у загальному виді (тобто при довільному значенні коефіцієнтів).

Оскільки f(x) є многочленом четвертого степеня, вона має одну і ту ж границю при прямуванні до плюс та до мінус безконечності. Якщо a>0, то функція зростає до плюс нескінченності з обох боків, а отже, функція має глобальний мінімум. Аналогічно, якщо a<0, то функція спадає до мінус нескінченності з обох боків, а отже, функція має глобальний максимум.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь[ред.ред. код]

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають систему рівнянь виду:


\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}

Тут m — кількість рівнянь, а n — кількість невідомих. x1, x2, …, xn — невідомі, які треба визначити. a11, a12, …, amn — коефіцієнти системи; b1, b2, … bm — вільні члени — вважаються відомими. Індекси коефіцієнтів (aij) системи означають номери рівняння (i) та невідомого (j), біля якого стоїть цей коефіцієнт, відповідно[1].

Система зветься однорідною, якщо усі її вільні члени дорівнюють нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), у протилежному випадку — неоднорідною. Система зветься квадратною, якщо число m рівнянь дорівнює числу n невідомих. Розв'язок системи — сукупність n чисел c1, c2, …, cn, таких що підставлення кожного ci замість xi у систему перетворює усі її рівняння у тотожності. Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок, і несумісною, якщо у неї немає жодного розв'язку. Розв'язки c1(1), c2(1), …, cn(1) та c1(2), c2(2), …, cn(2) сумісної системи називаються різними, якщо порушується хоча б одна з нерівностей:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок і невизначеною, якщо вона має безліч розв'язків. В останньому випадку кожен її розв'язок називають частковим розв'язком системи. Сукупність усіх часткових розв'язків називають загальним розв'язком системи.

Рівняння з параметрами[ред.ред. код]

Рівнянням з параметрами називається математичне рівняння, вигляд та розв'язок якого залежить від значень одного або декількох параметрів. Розв'язати рівняння з параметром означає:

  1. Знайти усі системи значень параметрів, при яких дане рівняння має розв'язок.
  2. Знайти усі розв'язки для кожної знайденої системи значень параметрів, тобто для невідомого та параметра мають бути вказані свої області допустимих значень.

Рівняння з параметром можуть бути як лінійними, так і нелінійними.

Приклад лінійного рівняння з параметром:


a\,x+1=4,

Приклад нелінійного рівняння з параметром:


\mbox{log}_{x^2}\frac{a+3}{7-x}=5,

де  x  — незалежна змінна , a  — параметр.

Трансцендентні рівняння[ред.ред. код]

Трансцендентним рівнянням називається рівняння що містить показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернені тригонометричні функції, наприклад:

  • \cos x  = x
  • \lg x  = x - 5
  •  2^x  = \lg x + x^5 + 40

Строгіше визначення: трансцендентне рівняння — це рівняння виду f(x)=g(x), де функції f та g є аналітичними функціями, й хоча б одна з них не є алгебраїчною.

Функціональні рівняння[ред.ред. код]

Функціональним рівнянням називається рівняння, що виражає зв'язок між значенням функції (або функцій) в одній точці з її значеннями в інших точках. Багато які з властивостей функцій можна визначити, досліджуючи функціональні рівняння, яким ці функції задовольняють. Термін «функціональне рівняння» зазвичай використовується для рівнянь, що не зводяться простими способами до алгебраїчних рівнянь. Ця особливість найчастіше обумовлена тим, що аргументами невідомої функції у рівняння є не самі невідомі змінні, а деякі відомі функції від них. Наприклад:

  • функціональному рівнянню

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s),
де \Gamma(z) — Гамма-функція Ейлера, задовольняє дзета-функція Рімана ζ.
  • наступним трьом рівнянням задовольняє Гамма-функція, яка є єдиним розв'язком цієї системи:
f(x)={f(x+1) \over x}\,\!
f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)
f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\, (формула доповнення Ейлера).

Диференціальні рівняння[ред.ред. код]

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує значення деякої невідомої функції у деякій точці та значення її похідних різних порядків у цій же точці. Диференціальне рівняння містить у своєму запису невідому функцію, її похідні й незалежні змінні. Порядок диференціального рівняння визначається найбільшим порядком похідних, що входять у нього. Розв'язком диференціального рівняння порядку n називається функція y(x), що має у деякому інтервалі (a, b) похідні y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x) до порядку n включно й задовольняє цьому рівнянню. Процес розв'язування диференціального рівняння називається інтегруванням.

Усі диференціальні рівняння можна поділити на

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\! або F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0,

де ~y=y(x) — невідома функція (можливо, вектор-функція; у такому випадку часто кажуть про систему диференціальных рівнянь), що залежить від незалежної змінної ~x, штрих означає диференціювання по ~x.

F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,

де x_1, x_2,\dots, x_m — незалежні змінні, а z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m) — функція цих змінних.

Застосування[ред.ред. код]

Рівняння часто виникають при розв'язуванні практичних або теоретичних задач у різних областях науки й техніки: фізиці, хімії, економіці тощо.

Рівняння і формули[ред.ред. код]

Оскільки математичні рівняння достатньо вивчений об'єкт й існують як аналітичні, так і чисельні методи їх розв'язку задачі інших областей спочатку формулюються у вигляді рівнянь. Для цього перш за все потрібно ввести позначеня невідомих величин і параметрів і використати формули відповідних областей знань, для того, щоб записати співвідношення між ними.

Відмінність від формулою і рівнянням в тому, що формула є правилом для обчислення якоїсь величини і зазвичай має форму:

 y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \,,

де у — величина, яку треба обчислити, а  f(x_1, x_2, \ldots, x_n) певна функція від набору параметрів. При застосуванні формули потрібно підставити в неї значення параметрів і отримати значення y. Проте, кожну формулу можна трактувати також як рівняння, якщо відоме значення y, і потрібно знайти значення параметрів, при яких воно реалізується. В цьому випадку параметри, або частина параметрів, стають невідомими.

Особливості рівнянь фізики[ред.ред. код]

Особливістю рівнянь у фізиці є те, що змінні, які позначають фізичні величини, є зазвичай розмірними. Розмірність дозволяє проводити додаткову перевірку обчислень, оскільки розмірність результату повинна бути правильна. Якщо величини й параметри, задані в задачі в різних одиницях, всі одиниці перед розв'язуванням рівняння повинні бути зведені до однієї системи одиниць. Для чисельного розв'язування фізичних задач, фізичне рівняння потрібно спочатку обезрозмірити, тобто ввести нові безрозмірні змінні. Такі змінні зазвичай одержують, ділячи певну фізичну величину на її характерне значення.

При розв'язанні фізичних задач отримані корені рівнянь необхідно перевірити на відповіднність тим припущенням, у рамках яких були отримані рівняння. Іноді математично строгі розв'язки потрібно відкинути, оскільки вони не мають фізичного сенсу.

Окремі з рівнянь фізики мають свої власні назви, наприклад, рівняння руху описують еволюцію фізичної системи, а рівняння стану в термодинаміці задають зв'язок між термодинамічними параметрами.

Особливості рівнянь у хімії[ред.ред. код]

У хімії хімічні рівняння описують перетворення речовин при хімічній реакції. Водночас, вони можуть використовуватися для визначення балансу речовин при таких реакціях, тобто є математичними рівняннями, зазвичай лінійними.

Рівносильні рівняння[ред.ред. код]

Рівняння, які мають однакові корені або взагалі не мають коренів, називаються рівносильними рівняннями. Два рівняння рівносильні, якщо вони мають одні й ті ж корені або їх не мають. Щоб розв'язувати складніші рівняння, треба замінювати їх рівносильними рівняннями і зводити до найпростіших рівнянь. Щоб перетворення були рівносильними, треба використовувати основні властивості рівнянь: — у будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки, якщо вони є. — будь-який член рівняння можна перенести в іншу частину рівняння, змінивши його знак на протилежний. — обидві частині рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. — до обох частин рівняння можна додати (відняти) одне й те саме число. Щоб розв'язати лінійне рівняння, скористаємось таким планом розв'язку за допомогою рівносильних перетворень: — якщо у членів рівняння є знаменники, то позбудемось них, помноживши обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник. — розкриємо всі дужки. — згрупуємо члени рівняння так, щоб члени зі змінною були в одній частині рівняння, а без змінної – в іншій. — зведемо подібні доданки в кожній частині рівняння. — розв'яжемо отримане рівняння вигляду ax = b Зверніть увагу! У дробах позбуватись знаменника, який містить змінну, не можна. Застосування нерівносильних перетворень приводить до втрати розв'язків або до появи сторонніх коренів.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

Джерела[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.